Beweis von Wurzelungleichungen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Di 13.11.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) ist 0<x<y und ist k [mm] \in \IN [/mm] so ist [mm] x^{\bruch{1}{k}} [/mm] < [mm] y^{\bruch{1}{k}}.
[/mm]
b) Für alle x>0 und k [mm] \in \IN [/mm] exsistiert n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] x
c) Ist [mm] \alpha [/mm] >1, so gilt für alle n [mm] \in \IN: [/mm] n [mm] \le [/mm] c [mm] \alpha^{n} [/mm] , wobei [mm] c:=\bruch{1}{\alpha-1}, [/mm] Benutzen Sie hierfür die Bernoullische Ungleichung. |
Hallo Leute,
also für a) habe ich eine Lösungsidee, weiß aber nicht, ob ich das so machen kann.
Vollständige Induktion über k
Induktionsanfang:
k=1
[mm] x^{\bruch{1}{k}}=x^{\bruch{1}{1}}=x^{1}=x
Induktionsvoraussetzung:Behauptung gilt für alle k [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsschritt:
k [mm] \to [/mm] k+1
[mm] x^{\bruch{1}{k+1}}=x^{\bruch{1}{k(1+\bruch{1}{k}}}=x^{\bruch{1}{k}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}}} [/mm] < [mm] y^{\bruch{1}{k}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}}}=y^{\bruch{1}{k(1+\bruch{1}{k}}}=y^{\bruch{1}{k+1}}
[/mm]
So, soviel zu meiner Lösungsidee.
zu b) fällt mir überhaupt nix ein.
Zu c) hatte ich eine Idee doch nun habe ich auch den Nachsatz "Benutzen Sie hierfür die Bernoullische Ungleichung." gelesen und nicht wie vorher überlesen.
Nun bin ich auch hier ratlos.
Dachte, dass ich sagen kann sei [mm] \alpha [/mm] beliebig, aber fest.
Und ne Induktion über n machen kann...
Weiß jemand Rat?
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in b hast du nichts bewiesen,
du sschreibst
$ [mm] x^{\bruch{1}{k+1}}=x^{\bruch{1}{k(1+\bruch{1}{k}}}=x^{\bruch{1}{k}\cdot{}\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}}} [/mm] $
wie begründest du das? hier benutz du ja
aus a<b folgt [mm] a^{(1+\bruch{1}{k})}
wieso gilt das?
was dürft ihr benutzen? Monotonor von [mm] x^k [/mm] für x>0 z.Bsp? Ableitungen?
< $ [mm] y^{\bruch{1}{k}\cdot{}\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}}}=y^{\bruch{1}{k(1+\bruch{1}{k}}}=y^{\bruch{1}{k+1}} [/mm] $
zu c) schreib die ungleichung mal hin. setze [mm] r=\alpha-1
[/mm]
vergleiche mit Bernoulli
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 13.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo leduart,
also wir dürfen weder Monotonie noch Ableitungen benutzen.
Benutzen dürfen wir die Axiome für die natürlichen Zahlen, die Anordnungsaxiome und die Rechenregeln für Potenzen ...
Deshalb hatte ich bei a) versucht den Bruch so auseinander zu ziehen, dass wieder [mm] x^{\bruch{1}{k}} [/mm] und irgendwas darsteht.
Zu c) Also ich habe jetzt alles eingesetzt und versucht zu vergleichen...
Also: n [mm] \le [/mm] c * [mm] \alpha^n
[/mm]
= n [mm] \le \bruch{1}{\alpha-1} [/mm] * [mm] \alpha^n
[/mm]
= n [mm] \le \bruch{\alpha^n}{\alpha-1} [/mm]
= n [mm] \le \bruch{\alpha^n}{r} [/mm] mit [mm] r:=\alpha-1
[/mm]
okay wenn ich das jetzt wieder auseinanderziehe...
= n [mm] \le \bruch{1}{r}* \alpha^n
[/mm]
Und die Bernoullische Ungleichung dazu schreibe:
1+nx [mm] \le (1+x)^n
[/mm]
sehe ich schon worauf du hinaus willst, aber fassbar wird es gerade nicht ...
Silfide
Nachtrag:
Ich könnte hier ja noch auf beiden Seiten noch mit r multiplizieren, also
n [mm] \le \bruch{1}{r}* \alpha^n [/mm] |*r
nr [mm] \le \alpha^n
[/mm]
Und wenn ich mir noch Bernoullische anschaue...
1+nx [mm] \le (1+x)^n
[/mm]
=1+nx [mm] \le 1^n+x^n [/mm] und [mm] 1^n [/mm] ist eh immer 1 (mit n [mm] \in \IN
[/mm]
beide Seiten dann noch mit -1 addiere, steht da schon fast was ich brauche... aber so richtig beweiskräftig ist mir das noch nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es macht nicht viel Sinn [mm] \alpha-1 [/mm] durch r zu ersetzen, wenn du dann nicht [mm] \alpa [/mm] durch r+1 ersetzt!
du willst doch Bernoulle und der heisst------
Gruss leduart
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