Beweis von Vollständigkeit Lp < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:45 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für 1 < p < [mm] \infty [/mm] der Vektorraum [mm] l^{p} [/mm] der reellen Zahlenfolgen [mm] {a_{n}} [/mm] Teilmenge [mm] \IR [/mm] , für die [mm] \summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}|^{p} [/mm] konvergiert, versehen mit der Norm || a [mm] ||_{p} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{\infty} |a_{n}|^{p})^{1/p} [/mm] vollständig ist. |
Hi ich habe folgende Überlegungen gemacht. Einfach mal bitte schreiben wo die Fehler sind bitte. Vielen Dank.
Mit freundlichen Grüßen
Zuerst gilt es die Konvergenz zu beweisen, d.h. den ersten Teil der Behauptung:
x := [mm] {(a_{n})}_{n \in \IN}
[/mm]
y := [mm] {(b_{n})}_{n \in \IN}
[/mm]
beliebige Folgen und [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
für jedes N [mm] \in \IN: \summe_{n=1}^{N} |a_{n} [/mm] + [mm] b_{n}|^{p} \le \summe_{n=1}^{N} (|a_{n}| [/mm] +| [mm] b_{n}|)^{p} \le \summe_{n=1}^{N} [/mm] (2 * [mm] max{|a_{n}|, |b_{n}| }^{p} [/mm] = [mm] 2^{p} \summe_{n=1}^{N} [/mm] ( [mm] max{|a_{n}|^{p}, |b_{n}|^{p} }) \le 2^{p} \summe_{n=1}^{N} |a_{n}| [/mm] ^{p}+| [mm] b_{n}|^{p} \le 2^{p} \summe_{n=1}^{N} |a_{n}| [/mm] ^{p}+ [mm] 2^{p} \summe_{n=1}^{N} [/mm] | [mm] b_{n}|^{p}
[/mm]
und
[mm] \summe_{n=1}^{N} [/mm] | [mm] \lambda a_{n}|^{p} =\summe_{n=1}^{N} [/mm] | [mm] \lambda|^{p} |a_{n}|^{p} [/mm] = | [mm] \lambda|^{p} \summe_{n=1}^{N} |a_{n}|^{p}
[/mm]
aus Grenzübergang N gegen [mm] \infty [/mm] folgt:
sowohl
[mm] \summe_{n=1}^{N} |a_{n} [/mm] + [mm] b_{n}|^{p} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
als auch
[mm] \summe_{n=1}^{N} [/mm] | [mm] \lambda a_{n}|^{p} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] es gilt mit komponentenweise Addition und skalarer Multiplikation x+y, [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in \l^{p}
[/mm]
- restliche Axiome eines Vektorraums kann man jeweils unmittelbar von der reellen Zahlengerade auf die Folgen in [mm] l^{p} [/mm] übertragen, dies zeigt den ersten Teil der in der Aufgabe enthaltenen Behauptung.
Mal 'ne Frage am Rande: Muss ich zusätzlich noch zeigen, dass definit, Homogenität und Dreiecksungleichung gelten?
Nun kommen wir zur Vollständigkeit:
Sei x := [mm] {(a_{n})}_{n \in \IN}
[/mm]
beliebige Cauchy-Folge bzgl. || . [mm] ||_{p} [/mm] und sind [mm] \in l^{p}
[/mm]
dann bildet gemäß [mm] |x_{nm} [/mm] - [mm] x_{km}| \le (\summe_{i=1}^{\infty} |x_{ni} [/mm] - [mm] x_{ki}|^{p})^{1/p} [/mm] = [mm] ||a_{n} [/mm] - [mm] a_{k}||_{p}
[/mm]
für jedes m [mm] \in \IN [/mm] die Komponentenfolge [mm] (x_{nm})_{n \in \IN} [/mm] eine Cauchy - Folge in [mm] \IR.
[/mm]
Nun ist [mm] \IR [/mm] vollständig, sodass für jedes m [mm] \in \IN [/mm] diese Folge konvergiert, d.h. der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{km} [/mm] existiert.
Definiere a = [mm] {{x_{m}}}_{n \in \IN}.
[/mm]
Es bleibt dann a [mm] \in l^{p} [/mm] und ||a - [mm] a_{n}||_{p} [/mm] gegen 0 für n gegen [mm] \infty [/mm] zu zeigen.
Sei dazu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gegeben. Da [mm] {a_{n}}_{n\le N} [/mm] ein K [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] ||x_{k} [/mm] - [mm] x_{l}||_{p} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle k,l [mm] \ge [/mm] K. Insbesondere erhält man damit für jedes N [mm] \in \IN [/mm] die Abschätzung
[mm] (\summe_{i=1}^{N} |a_{ki} [/mm] - [mm] a_{li}|^{p})^{1/p} \le (\summe_{i=1}^{\infty} |a_{ki} [/mm] - [mm] a_{li}|^{p})^{1/p} [/mm] = [mm] ||x_{k} [/mm] - [mm] x_{l}||_{p} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
für k,l [mm] \ge [/mm] K und deswegen nach Übergang l gegen [mm] \infty
[/mm]
[mm] (\summe_{i=1}^{N} |a_{ki} [/mm] - [mm] a_{i}|^{p})^{1/p} \le \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow k_{k} [/mm] - x [mm] \in l^{p} [/mm] und aufgrund von Linearität von [mm] l^{p} [/mm] (Bewiesen in Übung) auch x = [mm] x_{k} [/mm] - [mm] x_{k} [/mm] + x = [mm] x_{k} [/mm] - [mm] (x_{k} [/mm] - x) [mm] \in l^{p}
[/mm]
da nun e > 0 und beliebig zeigt obere "Argumentation" auch zugleich Konvergenz von [mm] ||x_{n} [/mm] - [mm] x||_{p} [/mm] gegen 0 für n gegen [mm] \infty.
[/mm]
Also ist [mm] l^{p} [/mm] versehen mit [mm] ||.||_{p} [/mm] ein vollständiger, normierter Raum (Banach- Raum).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 28.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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