Beweis von Satz < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 So 23.02.2014 | | Autor: | Paivren |
Guten Abend zusammen,
kann mir jemand den kurzen Beweis zu einem Satz näher bringen?
Satz: Sei [mm] \Theta [/mm] : V --> W eine lineare Abbildung zwischen den beiden Vektorräumen V und W.
Für v, v' [mm] \in [/mm] V gilt:
v [mm] \Theta [/mm] = v' [mm] \Theta [/mm] gdw. v und v' repräsentieren dieselbe Nebenklasse von [mm] Kern(\Theta) [/mm] in V,
also v + [mm] Kern(\Theta)= [/mm] v' + [mm] Kern(\Theta)
[/mm]
Wobei definiert ist:
v + [mm] Kern(\Theta)=\{ v+u | u \in Kern(\Theta) \}
[/mm]
Beweis:
Seien v,v' [mm] \in [/mm] V.
Dann gilt:
v [mm] \Theta [/mm] = v' [mm] \Theta [/mm] <--> v [mm] \Theta [/mm] -v' [mm] \Theta=0
[/mm]
<--> (v-v') [mm] \Theta [/mm] =0
<--> v-v' [mm] \in Kern(\Theta)
[/mm]
<--> [mm] v+Kern(\Theta)=v'+Kern(\Theta)
[/mm]
q.e.d.
Ich habe erst mal eine Frage zu dem Zeichen "<-->".
Ist das gleichzusetzen mit dem <=> - Zeichen?
Habe bei fleißigem Googlen gefunden, dass <=> praktisch eine vorliegende Äquivalenz beschreibt,
während <--> ein logischer Ausdruck ist, der wahr ist, sofern Äquivalenz vorliegt, aber auch falsch sein kann.
So richtig?
Dann verstehe ich die letzte Zeile im Beweis nicht.
Wieso gilt [mm] v+Kern(\Theta)=v'+Kern(\Theta).
[/mm]
Wieso folgt das aus dem vorherigen Schritt?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 23.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend zusammen,
>
> kann mir jemand den kurzen Beweis zu einem Satz näher
> bringen?
>
> Satz: Sei [mm]\Theta[/mm] : V --> W eine lineare Abbildung zwischen
> den beiden Vektorräumen V und W.
> Für v, v' [mm]\in[/mm] V gilt:
> v [mm]\Theta[/mm] = v' [mm]\Theta[/mm] gdw. v und v' repräsentieren
> dieselbe Nebenklasse von [mm]Kern(\Theta)[/mm] in V,
> also v + [mm]Kern(\Theta)=[/mm] v' + [mm]Kern(\Theta)[/mm]
>
> Wobei definiert ist:
> v + [mm]Kern(\Theta)=\{ v+u | u \in Kern(\Theta) \}[/mm]
>
> Beweis:
> Seien v,v' [mm]\in[/mm] V.
> Dann gilt:
> v [mm]\Theta[/mm] = v' [mm]\Theta[/mm] <--> v [mm]\Theta[/mm] -v' [mm]\Theta=0[/mm]
> <--> (v-v') [mm]\Theta[/mm] =0
> <--> v-v' [mm]\in Kern(\Theta)[/mm]
> <-->
> [mm]v+Kern(\Theta)=v'+Kern(\Theta)[/mm]
>
> q.e.d.
>
> Ich habe erst mal eine Frage zu dem Zeichen "<-->".
> Ist das gleichzusetzen mit dem <=> - Zeichen?
ja (soweit ich das sehe):
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#Schreib-_und_Sprechweisen
> Habe bei fleißigem Googlen gefunden, dass <=> praktisch
> eine vorliegende Äquivalenz beschreibt,
> während <--> ein logischer Ausdruck ist, der wahr ist,
> sofern Äquivalenz vorliegt, aber auch falsch sein kann.
? Wo hast Du das her?
> So richtig?
>
> Dann verstehe ich die letzte Zeile im Beweis nicht.
> Wieso gilt [mm]v+Kern(\Theta)=v'+Kern(\Theta).[/mm]
> Wieso folgt das aus dem vorherigen Schritt?
Sowas kann man sich immer selbst überlegen:
1. Behauptung ist, dass gilt:
Aus $v-v' [mm] \in \text{Kern}\Theta$ [/mm] folgt
[mm] $v+\text{Kern}\Theta=v'+\text{Kern}\Theta.$
[/mm]
Beweis: Gelte also $v-v' [mm] \in \text{Kern}\Theta$:
[/mm]
[mm] $\alpha$) "$\subseteq:$"
[/mm]
Sei $x [mm] \in v+\text{Kern}\Theta.$ [/mm] Dann ist $x-v [mm] \in \text{Kern}\Theta.$
[/mm]
Weiterhin gilt
[mm] $\Theta(x-v')=\Theta(x-v+(v-v'))=\Theta(x-v)+\Theta(v-v')=\Theta(x-v)=0\,,$
[/mm]
also
$x-v' [mm] \in \text{Kern}\Theta.$
[/mm]
[Du kannst das auch anders aufschreiben: Sei [mm] $x\,$ [/mm] wie oben, dann existiert
ein [mm] $\xi \in \text{Kern}\Theta$ [/mm] mit [mm] $x=v+\xi\,.$
[/mm]
Ferner gilt
[mm] $x=v'+(v-v')+\xi$
[/mm]
und wegen
[mm] $(v-v')+\xi \in \text{Kern}\Theta$ [/mm] (warum?)
folgt dann
$x [mm] \in v'+\text{Kern}\Theta.$]
[/mm]
[mm] $\beta$) "$\supseteq:$"
[/mm]
Vollkommen analog!
Bisher wissen wir also:
Aus
$v-v' [mm] \in \text{Kern}\Theta$
[/mm]
folgt wegen [mm] $\alpha)$ [/mm] und [mm] $\beta)$
[/mm]
[mm] $v+\text{Kern}\Theta=v'+\text{Kern}\Theta.$
[/mm]
Jetzt zur
2. Behauptung, dass aus
[mm] $v+\text{Kern}\Theta=v'+\text{Kern}\Theta$
[/mm]
schon
$v-v' [mm] \in \text{Kern}\Theta$
[/mm]
folgt:
Sei dazu $x [mm] \in v+\text{Kern}\Theta\,,$ [/mm] also
[mm] $x=v+\xi$ [/mm] mit einem [mm] $\xi \in \text{Kern}\Theta\,.$
[/mm]
Wegen
[mm] $v+\text{Kern}\Theta=v'+\text{Kern}\Theta$
[/mm]
folgt dann auch
$x [mm] \in v'+\text{Kern}\Theta\,,$ [/mm]
d.h. es gibt ein [mm] $\xi' \in \text{Kern}\Theta$ [/mm] mit
[mm] $x=v'+\xi'\,.$
[/mm]
Es gilt also
[mm] $v+\xi=x=v'+\xi'$
[/mm]
und damit
[mm] $\Theta(v-v')=0$ [/mm] (warum?).
Also
$v-v' [mm] \in \text{Kern}\Theta.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 So 23.02.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo Marcel,
danke für Deine Antwort!
Zum ersten:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bikonditional
Hier kann man das zB. sehen: <--> ist nicht der herkömmliche Äquivalenzpfeil. Mich wundert, dass unser Prof manchmal den normalen Äquivalenzpfeil nimmt und manchmal dieses Symbol, obwohl es stets auf normale Äquivalenz hinausläuft, inhaltlich.
So kann man es wirklich recht leicht zeigen, darauf bin ich nicht gekommen.
Am Ende:
> 2. Behauptung, dass aus
>
> [mm]v+\text{Kern}\Theta=v'+\text{Kern}\Theta[/mm]
>
> schon
>
> [mm]v-v' \in \text{Kern}\Theta[/mm]
>
> folgt:
>
> Sei dazu [mm]x \in v+\text{Kern}\Theta\,,[/mm] also
>
> [mm]x=v+\xi[/mm] mit einem [mm]\xi \in \text{Kern}\Theta\,.[/mm]
>
> Wegen
>
> [mm]v+\text{Kern}\Theta=v'+\text{Kern}\Theta[/mm]
>
> folgt dann auch
>
> [mm]x \in v'+\text{Kern}\Theta\,,[/mm]
>
> d.h. es gibt ein [mm]\xi' \in \text{Kern}\Theta[/mm] mit
>
> [mm]x=v'+\xi'\,.[/mm]
>
> Es gilt also
>
> [mm]v+\xi=x=v'+\xi'[/mm]
>
> und damit
>
> [mm]\Theta(v-v')=0[/mm] (warum?).
Wegen [mm] v+\xi=v'+\xi'
[/mm]
[mm] \gdw v-v'+\xi=\xi'
[/mm]
--> [mm] \Theta [/mm] (v-v')+ [mm] \Theta(\xi)=\Theta(\xi')
[/mm]
und wegen [mm] \xi, \xi' \in [/mm] Kern [mm] \Theta [/mm] folgt [mm] \Theta [/mm] (v-v')=0.
> Also
>
> [mm]v-v' \in \text{Kern}\Theta.[/mm]
So gut?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 So 23.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke für Deine Antwort!
>
> Zum ersten:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Bikonditional
das sieht für mich genauso aus, wie das, was ich als $A [mm] \Longleftrightarrow [/mm] B$ kenne:
$[ [mm] (\neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] B ] [mm] \wedge [(\neg [/mm] B) [mm] \vee A]\,,$
[/mm]
denn $A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$ ist ja gerade [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] B.$
> Hier kann man das zB. sehen: <--> ist nicht der
> herkömmliche Äquivalenzpfeil. Mich wundert, dass unser
> Prof manchmal den normalen Äquivalenzpfeil nimmt und
> manchmal dieses Symbol, obwohl es stets auf normale
> Äquivalenz hinausläuft, inhaltlich.
Frag' ihn mal: Mir ist da jetzt kein wirklicher Unterschied bekannt bzw. klar.
Aber ich bin auch nicht so der "Logiker" (im Sinne der Theorie).
> So kann man es wirklich recht leicht zeigen, darauf bin ich
> nicht gekommen.
> Am Ende:
>
>
> > 2. Behauptung, dass aus
> >
> > [mm]v+\text{Kern}\Theta=v'+\text{Kern}\Theta[/mm]
> >
> > schon
> >
> > [mm]v-v' \in \text{Kern}\Theta[/mm]
> >
> > folgt:
> >
> > Sei dazu [mm]x \in v+\text{Kern}\Theta\,,[/mm] also
> >
> > [mm]x=v+\xi[/mm] mit einem [mm]\xi \in \text{Kern}\Theta\,.[/mm]
> >
> > Wegen
> >
> > [mm]v+\text{Kern}\Theta=v'+\text{Kern}\Theta[/mm]
> >
> > folgt dann auch
> >
> > [mm]x \in v'+\text{Kern}\Theta\,,[/mm]
> >
> > d.h. es gibt ein [mm]\xi' \in \text{Kern}\Theta[/mm] mit
> >
> > [mm]x=v'+\xi'\,.[/mm]
> >
> > Es gilt also
> >
> > [mm]v+\xi=x=v'+\xi'[/mm]
> >
> > und damit
> >
> > [mm]\Theta(v-v')=0[/mm] (warum?).
>
> Wegen [mm]v+\xi=v'+\xi'[/mm]
> [mm]\gdw v-v'+\xi=\xi'[/mm]
> --> [mm]\Theta[/mm] (v-v')+
> [mm]\Theta(\xi)=\Theta(\xi')[/mm]
> und wegen [mm]\xi, \xi' \in[/mm] Kern [mm]\Theta[/mm] folgt [mm]\Theta[/mm]
> (v-v')=0.
Ja, das hättest Du aber auch *einfacher/übersichtlicher* haben können:
[mm] $\Theta(v-v')=\Theta(\xi'-\xi)=\Theta(\xi')-\Theta(\xi)=0-0=0\,.$
[/mm]
(Oder man erinnert sich an die "Unterraumeigenschaft" des Kerns und sagt
dabei sofort, dass, wenn [mm] $\xi, \xi'$ [/mm] Elemente des Kerns sind, dann auch [mm] $\xi-\xi'$
[/mm]
im Kern liegt. Dann spart man sich oben zwei "Zwischengleichheiten".)
> > Also
> >
> > [mm]v-v' \in \text{Kern}\Theta.[/mm]
>
> So gut?
Ja!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mo 24.02.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo,
ich danke Dir für deine Hilfe!
Gruß
Paivren
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