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Forum "Lineare Abbildungen" - Beweis von Metriken
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Beweis von Metriken: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Sa 09.01.2016
Autor: Canibusm

Aufgabe
d(x,y) = [mm] \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} [/mm]

Überlegen Sie, dass d eine Metrik im R{2} ist.

Positivität/Definitheit und Symmetrie habe ich selbst hinbekommen, die Dreiecksungleichung fällt mir allerdings schwer.

d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y)

[mm] \gdw \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}} [/mm]

Jetzt komme ich nicht mehr weiter...

Ich bin über jede Hilfestellung dankbar :-)

        
Bezug
Beweis von Metriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Sa 09.01.2016
Autor: statler

Guten Tag!

> d(x,y) = [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
>  
> Überlegen Sie, dass d eine Metrik im R{2} ist.
>  Positivität/Definitheit und Symmetrie habe ich selbst
> hinbekommen, die Dreiecksungleichung fällt mir allerdings
> schwer.
>  
> d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y)
>  
> [mm]\gdw \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
>
> Jetzt komme ich nicht mehr weiter...
>  
> Ich bin über jede Hilfestellung dankbar :-)

Eine hilfreiche Grundregel ist: Alles, was stört, muß weg. Mich würden die Wurzeln stören.
Gruß aus HH
Dieter


Bezug
                
Bezug
Beweis von Metriken: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Sa 09.01.2016
Autor: Canibusm

Aufgabe
Guten Tag!

> d(x,y) = [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
>  
> Überlegen Sie, dass d eine Metrik im R{2} ist.
>  Positivität/Definitheit und Symmetrie habe ich selbst
> hinbekommen, die Dreiecksungleichung fällt mir allerdings
> schwer.
>  
> d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y)
>  
> [mm]\gdw \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
>
> Jetzt komme ich nicht mehr weiter...
>  
> Ich bin über jede Hilfestellung dankbar :-)

Eine hilfreiche Grundregel ist: Alles, was stört, muß weg. Mich würden die Wurzeln stören.
Gruß aus HH
Dieter

Die Wurzeln stören mich auch :D

[mm] \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}} [/mm]

[mm] (x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}\le (\wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}})^{2} [/mm]

Mache ich auf der rechten Seite jetzt mit der binomischen Formel weiter?

Vielen Dank für deine Hilfe, Dieter!

Bezug
                        
Bezug
Beweis von Metriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Sa 09.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Guten Tag!

>

> > d(x,y) = [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
> >
> > Überlegen Sie, dass d eine Metrik im R{2} ist.
> > Positivität/Definitheit und Symmetrie habe ich selbst
> > hinbekommen, die Dreiecksungleichung fällt mir allerdings
> > schwer.
> >
> > d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y)
> >
> > [mm]\gdw \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> > + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
> >
> > Jetzt komme ich nicht mehr weiter...
> >
> > Ich bin über jede Hilfestellung dankbar :-)

>

> Eine hilfreiche Grundregel ist: Alles, was stört, muß
> weg. Mich würden die Wurzeln stören.
> Gruß aus HH
> Dieter
> Die Wurzeln stören mich auch :D

>

> [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]

>

> [mm](x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}\le (\wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}})^{2}[/mm]

>

> Mache ich auf der rechten Seite jetzt mit der binomischen
> Formel weiter?

Na klar, das bietet sich doch an.

Rechne doch einfach mal weiter - kann ja nix kaputt gehen ;-)


>

> Vielen Dank für deine Hilfe, Dieter!

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Beweis von Metriken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 Di 12.01.2016
Autor: Canibusm

Aufgabe
Hallo,

> Guten Tag!
>
> > d(x,y) = [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
> >
> > Überlegen Sie, dass d eine Metrik im R{2} ist.
> > Positivität/Definitheit und Symmetrie habe ich selbst
> > hinbekommen, die Dreiecksungleichung fällt mir allerdings
> > schwer.
> >
> > d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y)
> >
> > [mm]\gdw \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> > + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
> >
> > Jetzt komme ich nicht mehr weiter...
> >
> > Ich bin über jede Hilfestellung dankbar :-)
>
> Eine hilfreiche Grundregel ist: Alles, was stört, muß
> weg. Mich würden die Wurzeln stören.
> Gruß aus HH
> Dieter
> Die Wurzeln stören mich auch :D
>
> [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm](x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}\le (\wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}})^{2}[/mm]
>
> Mache ich auf der rechten Seite jetzt mit der binomischen
> Formel weiter?

Na klar, das bietet sich doch an.

Rechne doch einfach mal weiter - kann ja nix kaputt gehen ;-)


>
> Vielen Dank für deine Hilfe, Dieter!

Gruß

schachuzipus

Hallo schachuzipus,

vielen Dank erst einmal für deine Antwort!

[mm] (x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}\le (\wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}})^{2} [/mm]

[mm] \gdw (x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2} \le (x_{1}-z_{1})^{2} [/mm] + [mm] (x_{2}-z_{2})^{2} [/mm] + [mm] (z_{1}-y_{1})^{2} [/mm] + [mm] (z_{2}-y_{2})^{2} [/mm] + [mm] 2\wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}} [/mm]

Übersichtlicher: a + b [mm] \le [/mm] c + d + e + f + [mm] 2\wurzel{cd}\wurzel{ef} [/mm]

Ich erkenne einfach nicht, wie ich hier jetzt sinnvoll weitermache?

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Bezug
Beweis von Metriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Di 12.01.2016
Autor: chrisno

Ich würde nun die Klammern mit den Quadraten auflösen. Die Begründung ist, das es eine Menge Terme der Sorte [mm] $x_1^2$ [/mm] gibt, die sich dann weg heben.

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