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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:08 Fr 23.06.2006 | | Autor: | shark4 |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Beziehung
[mm]\int x^{n} \sin x \, d x = - \sum_{k = 0}^{n} k! {n \choose k} x^{n - k} \cos(x + k \pi /2) + c[/mm]
und stellen Sie eine analoge Formel für [mm]\int x^{n} \cos x \, d x[/mm] auf! |
Ich weiß zwar das es stimmt, aber ich weiß nicht wie ich es beweisen soll.
Hier mein Ansatz:
Die eine Möglichkeit wäre über Induktion:
Für n = 1 und n = 2 kann man es schnell nachrechnen.
Vorausetzung: Formel gilt bis n
Schritt:
[mm]\begin{matrix}
\int x^{n+2}\sin x\, dx &=& -x^{n+2} \cos x+(n+2)\int x^{n+1} \cos x\, dx \\
&=& -x^{n+2}\cos x+(n+2)\left(x^{n+1}\sin x-(n+1)\int x^{n} \sin x\, dx\right) \\
&=& -x^{n+2}\cos x+(n+2)x^{n+1}\sin x-(n+2)(n+1)\left(- \sum_{k=0}^{n} k! {n \choose k} x^{n-k} \cos(x+k \pi /2)+c\right)\\
&=& -\sum_{k=0}^{2} k! {n+2 \choose k} x^{n+2-k} \cos(x+k \pi /2)-\left(- \sum_{k=0}^{n} (n+2)(n+1)k! {n \choose k} x^{n-k} \cos(x+k \pi /2)+c\right)
\end{matrix}[/mm]
Jetzt muss man nur "noch" die rechte Summe in die Form
[mm]\sum_{k=2}^{n+2} k! {{n+2} \choose k} x^{n+2-k} \cos(x+k \pi /2)[/mm]
bringen. Aber wie?
[mm]\begin{matrix}
- \sum_{k=0}^{n} (n+2)(n+1)k! {n \choose k} x^{n-k} \cos(x+k \pi /2)+c &=& \sum_{k=0}^{n} (n+2)(n+1)k! {n \choose k} x^{n-k} \left(-\cos(x+k \pi /2)\right)+c \\
&=& \sum_{k=0}^{n} (n+2)(n+1)k! {n \choose k} x^{n-k} \cos(x+(k+2) \pi /2)+c \\
&=& \sum_{k=0}^{n} k! {{n+2} \choose {k+2}} x^{n-k} \cos(x+(k+2) \pi /2)+c
\end{matrix}[/mm]
Bis hierher komm ich noch, aber wie gehts weiter?
Die zweite Möglichkeit besteht darin viermal die partielle Integration anzuwenden:
[mm]\begin{matrix}
\int x^{n}\sin x\, dx &=& -x^{n} \cos x-(n)\int -x^{n-1} \cos x\, dx \\
&=& -x^{n}\cos x-(n)\left(-x^{n-1}\sin x-(n-1)\int -x^{n-2} \sin x\, dx\right) \\
&=& -x^{n}\cos x-(n)\left(-x^{n-1}\sin x-(n-1)\left(x^{n-2} \cos x - (n-2)\int x^{n-3} \cos x\, dx\right)\right) \\
&=& -x^{n}\cos x-(n)\left(-x^{n-1}\sin x-(n-1)\left(x^{n-2} \cos x - (n-2)\left(x^{n-3} \sin x - (n-3)\int x^{n-4} \sin x\, dx\right)\right)\right) \\
&=& -x^{n}\cos x-(n)\left(-x^{n-1}\sin x-(n-1)\left(x^{n-2} \cos x - (n-2)x^{n-3} \sin x +(n-2)(n-3)\int x^{n-4} \sin x\, dx\right)\right) \\
&=& -x^{n}\cos x-(n)\left(-x^{n-1}\sin x-(n-1)x^{n-2} \cos x + (n-1)(n-2)x^{n-3} \sin x-(n-1)(n-2)(n-3)\int x^{n-4} \sin x\, dx\right) \\
&=& -x^{n}\cos x+(n)x^{n-1}\sin x+(n)(n-1)x^{n-2} \cos x-(n)(n-1)(n-2)x^{n-3} \sin x+(n)(n-1)(n-2)(n-3)\int x^{n-4} \sin x\, dx \\
&=& -x^{n}\cos x-(n)x^{n-1}\cos (x+\pi /2)-(n)(n-1)x^{n-2} \cos (x+\pi)-(n)(n-1)(n-2)x^{n-3} \cos (x+3/2\pi)+(n)(n-1)(n-2)(n-3)\int x^{n-4} \sin x\, dx \\
\end{matrix}[/mm]
Ab [mm](n)(n-1)(n-2)(n-3)\int x^{n-4} \sin x\, dx[/mm] wiederholt sich das ganze. Also müsste man dort mit der Periodizität argumentieren können. Oder reicht das nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Walde |
Hi shark4,
uff, die Formeln erschlagen mich etwas, also kontrolliere ich sie mal nicht nach.
Aber folgendes: Per Induktion geht es wahrscheinlich auch, aber deine zweite Überlegung, viermal part. zu intergrieren und dann das Periodizitätsargument zu bringen ist meiner Meinung nach genau das Richtige. Man kann es ja eigentlich schon sehen. Wenn du von dem 4maligen p. int. auf n-maliges geschlossen hast bzw. mal die ersten 4 Glieder der Summenfomel ausgeschrieben hast, steht es ja quasi da.
L G walde
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