Beweis trigonalisierbar < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mo 14.04.2008 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | Sei V ein Vektorraum mit dim V [mm] \in \IN. [/mm] Man zeige, dass ein Endomorphismus f von V genau dann trigonalisierbar ist, wenn es eine Basis A von V gibt , so dass [mm] M_{f,A,A} [/mm] eine untere Dreiecksmatrix ist. |
So. Hier verwirrt mich die untere Dreiecksmatrix massiv, denn soweit ich informiert bin, gilt obiges für eine obere Dreiecksmatrix.
Und die Formulierung genau dann, wenn schließt eine Gültigkeit für beide Fälle ja eigentlich aus, oder?
Ich bin leicht verwirrt und vermute einen Fehler in der Aufgabenstellung - aber vielleicht übersehe ich auch das Wesentliche?
P.S.: Falls eine Matrix S obere Dreiecksmatrix, dann ist [mm] S^t [/mm] ja eine untere Dreiecksmatrix - ob ich über diese "Verwandtschaft" einen Ansatz finden könnte?
P.P.S.: Zum Vergleich mit dem Obigen ein Zitat aus Fischer, Lineare Algebra:
Für F [mm] \in [/mm] End(V) sind folgende Bedingungen gleichwertig:
i) Es gibt eine F-invariante Fahne in V.
ii) Es gibt eine Basis B von V, so dass [mm] M_B(F) [/mm] obere Dreiecksmatrix ist.
Ist das der Fall, so heißt F trigonalisierbar.
Das bietet ja die Grundlage für die Bedingung für Trigonalisierbarkeit über die Existenz einer invertierbaren Matrix S, so dass [mm] SAS^{-1} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix sei...
Das wiederum fußt im Trigonalisierungssatz - aber all das hilft mir hier nicht weiter...
Hat jemand Hilfe? ;)
|
|
| |
|
> Sei V ein Vektorraum mit dim V [mm]\in \IN.[/mm] Man zeige, dass ein
> Endomorphismus f von V genau dann trigonalisierbar ist,
> wenn es eine Basis A von V gibt , so dass [mm]M_{f,A,A}[/mm] eine
> untere Dreiecksmatrix ist.
> So. Hier verwirrt mich die untere Dreiecksmatrix massiv,
> denn soweit ich informiert bin, gilt obiges für eine obere
> Dreiecksmatrix.
Hallo,
Du weißt, daß (sehr verkürzt)
f trigonalisierbar <==> obere Dreiecksmatrix
Das ist völlig unbestritten.
Zeigen sollst Du nun:
f trigonalisierbar <==> untere Dreiecksmatrix
Auf dem Weg dorthin mußt du sicher verwenden, daß es eine Basis A gibt, so daß [mm] M_{f,A,A} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist.
Dann mußt Du überlegen, ob und wie Du eine Basis B findest, daß [mm] M_{f,B,B} [/mm] eine untere Dreiecksmatrix ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mo 14.04.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Erst einmal danke Angela für deine schnellen und verständlichen Hilfen.
Ohne dich wäre ich schon einige Male aufgeschmissen gewesen.
So, jetzt zum Thema:
Eine konkrete Beweisidee schwebt mir bereits im Kopf, es fehlt nur an einer Ecke noch ein wenig an Verständnis:
Im Prinzip ist der Kernpunkt des Beweises ja der Schritt, in dem man die Matrix der unteren Dreiecksform in Beziehung zu der in der oberen Dreiecksform setzt.
Meine Idee: Ich zeige, dass jede Matrix [mm] B:=M_{f,B,B} [/mm] (obere Dreiecksmatrix) zu einer Matrix [mm] A:=M_{f,A,A} [/mm] (untere Dreiecksmatrix ähnlich ist.
Hierfür gab es ja die schöne Formel
A = [mm] S*B*S^{-1}
[/mm]
Wenn ich jetzt für S die folgende Matrix nehme, also S = [mm] \pmat{0 & 0 & ... & 0 & 1 \\ 0 & 0 & .. & 1 & 0 \\ ... \\ 0 & 1 & ... & 0 & 0 \\ 1 & 0 & ... & 0 & 0}, [/mm] so hat diese die tolle Eigenschaft, dass [mm] S^{-1} [/mm] = S - und dass hierdurch B transponiert wird - von einer oberen zu einer unteren Dreiecksmatrix...
Nun haben wir dadurch, dass A und B zueinander ähnlich sind, folgenden Sachverhalt: Das charakteristische Polynom ist identisch.
Somit ist nicht nur B (Voraussetzung), sondern auch A trigonalisierbar.
(formal würde die Beweiskette in "Hinrichtung" dann folgendermaßen aussehen:
f ist trigonalisierbar [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Basis B von V, so dass [mm] M_{f,B,B} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Basis A von V, so dass [mm] M_{f,A,A} [/mm] ähnlich zu [mm] M_{f,B,B} [/mm] und untere Dreiecksmatrix ist. Mit obiger Schlussfolgerung wäre die eine Beweisrichtung somit fertig.
Die Gegenrichtung wäre trivial und würde ich denke ich auch noch hinbekommen.
Nur, ist dies nicht etwas zu einfach gedacht? Vor allem ist die Stelle mit der transponiertenden Matrix so korrekt? Ich habe mir das hier auf Papier für n [mm] \in \IN [/mm] beliebig mal aufgemalt (ist mir jetzt etwas umständlich zu übertragen) - aber das sollte eigentlich so gehen, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Gruß, Maraq
|
|
|
| |
|
Hallo,
Deine Idee ist haargenau richtig und supergut.
Ist Dir eigentlich klar, was Du tust?
Was das bedeutet, daß die Transformationsmatrix S so $ [mm] S:=\pmat{0 & 0 & ... & 0 & 1 \\ 0 & 0 & .. & 1 & 0 \\ ... \\ 0 & 1 & ... & 0 & 0 \\ 1 & 0 & ... & 0 & 0} [/mm] $ aussieht?
Ich glaube nicht...
Du hast ja eine Basis [mm] A:=(a_1,...,a_n), [/mm] bzgl derer die darstellende Matrix von f eine obere Dreiecksmatrix ist.
Du hast nun - möglicherweise ist Dir das nicht ganz klar - eine neue Basis [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] wie folgt definiert:
[mm] b_1:=a_n [/mm] , [mm] b_2:=a_{n-1}, b_3:=a_{n-2}, [/mm] ..., [mm] b_{n-1}:=a_{2}, b_{n}:=a_{1}.
[/mm]
Einfach die Reihenfolge geändert. Mach Dir klar, daß C gerade die transformationsmatrix für den Übergang von B nach A ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
