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| Aufgabe | Es seien X und Y nichtleere Mengen. Wir bezeichnen mit [mm] 2^{X} [/mm] die Potenzmenge von X, d.h. die Menge aller Teilmengen von X.
(i) Man zeige, dass [mm] 2^{X} [/mm] eine Topologie auf X ist und {∅, Y } eine Topologie auf Y .
(ii) Man zeige, dass f : Y → X genau dann stetig ist, wenn f konstant ist.
(iii) Man bestimme alle (überdeckungs-)kompakten Teilmengen von X bzw. Y . |
Hallo,
ich habe große Probleme beim lösen dieser Aufgabe.
Die Eigenschaften einer Topolgie sehen ja folgender maßen aus:
[mm] 1)\emptyset \in [/mm] A und X in A
2)M,N [mm] \in [/mm] A => M [mm] \cap [/mm] N [mm] \in [/mm] A
3)ist [mm] (M_{i})_{i \in I} [/mm] eine Familie von Elementen aus A, so gehört auch [mm] \bigcup_{i \in I}^{} M_{i} [/mm] zu A.
Bei (i) ist die erste eigenschaft logischerweise erfüllt, denn
[mm] \emptyset \in [/mm] X und [mm] 2^{X} \in [/mm] X , da [mm] 2^{X} \subset [/mm] X ist.
aber bei 2. habe ich schon Probleme, wie zeige ich, dass der durschnitt zweier beliebiger in A liegender mengen wieder in A ist?
welche eigenschaften müssen dann M und N haben?
ich habe leider gar keine Ahnung wie ich da vorgehen soll.
Ich hoffe mir kann jemand helfen!!
mfg
nathenatiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Sa 04.11.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo.
von mir gibt's erstmal ein paar Bemerkungen zu (i) und (ii).
> Es seien X und Y nichtleere Mengen. Wir bezeichnen mit
> [mm]2^{X}[/mm] die Potenzmenge von X, d.h. die Menge aller
> Teilmengen von X.
> (i) Man zeige, dass [mm]2^{X}[/mm] eine Topologie auf X ist und
> {∅, Y } eine Topologie auf Y .
...hier habe ich ein kleines Browserproblem mit der Darstellung der Sonderzeichen. Ich gehe mal davon aus, dass [mm] \{\emptyset,y\} [/mm] gemeint ist.
> (ii) Man zeige, dass f : Y → X genau dann stetig
> ist, wenn f konstant ist.
> (iii) Man bestimme alle (überdeckungs-)kompakten
> Teilmengen von X bzw. Y .
> Hallo,
>
> ich habe große Probleme beim lösen dieser Aufgabe.
> Die Eigenschaften einer Topolgie sehen ja folgender maßen
> aus:
> [mm]1)\emptyset \in[/mm] A und X in A
> 2)M,N [mm]\in[/mm] A => M [mm]\cap[/mm] N [mm]\in[/mm] A
> 3)ist [mm](M_{i})_{i \in I}[/mm] eine Familie von Elementen aus A,
> so gehört auch [mm]\bigcup_{i \in I}^{} M_{i}[/mm] zu A.
>
> Bei (i) ist die erste eigenschaft logischerweise erfüllt,
> denn
> [mm]\emptyset \in[/mm] X und [mm]2^{X} \in[/mm] X , da [mm]2^{X} \subset[/mm] X ist.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm]\emptyset \in X[/mm] ist klar, denn [mm] \emptyset [/mm] liegt ja in jeder Potenzmenge. Der Rest stimmt allerdings nicht.
Es ist sicher nicht [mm] 2^X\in [/mm] X, denn [mm] 2^X [/mm] ist ja die Menge aller Teilmengen von X und die wird sicher nicht in X selbst enthalten sein. Es ist aber [mm] X\in2^X [/mm] (weil ja X [mm] \subseteq [/mm] X) und das ist ja auch das, was zu zeigen ist.
> aber bei 2. habe ich schon Probleme, wie zeige ich, dass
> der durschnitt zweier beliebiger in A liegender mengen
> wieder in A ist?
> welche eigenschaften müssen dann M und N haben?
Was bedeutet denn [mm] M\in [/mm] A? In unserem Fall steht da ja [mm] M\in2^X [/mm] und das bedeutet nichts anderes als dass [mm] M\subseteqX. [/mm] 2) bedeutet also, dass für zwei Teilmengen von X auch deren Durchschnitt wieder eine Teilmenge von X sein muss - das ist ja keine besonders große Forderung. 3.) Ist dann das gleiche nur mit beliebig vielen Teilmengen und Vereinigung.
> ich habe leider gar keine Ahnung wie ich da vorgehen
> soll.
> Ich hoffe mir kann jemand helfen!!
>
> mfg
>
> nathenatiker
Dann musst Du natürlich noch die 3 Eigenschaften für die Topologie auf Y überprüfen.
Bei (ii) soll f stetig sein, d.h. die Urbilder offener Mengen in X sind offene Mengen in Y. Such Dir dann einfach mal eine möglichst kleine, nichtleere Menge in X und überlege Dir, welche (offenen) Mengen in Y als Urbild in Frage kommen.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 06.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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