Beweis stetigkeit, surjektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Es seinen a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b und h:[0,1] -> [a,b] monoton mit h(0) = a und h(1) = b. Zeigen Sie: Die Funktion h stetig genau dann, wenn h surjektiv ist. |
Hallo,
habe hier folgendes gemacht:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Angenommen h wäre nicht surjektiv [mm] \Rightarrow \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]: h(x) [mm] \not= [/mm] y.
[mm] \Righarrow [/mm] h ist unstetig, da [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] h(x) = [mm] h(x_{0}) \not= [/mm] y für alle [mm] x_{0} \in [/mm] [0,1].
[mm] "\Leftarrow": [/mm] h ist surjektiv [mm] \Rightarrow \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]: h(x) = y. Dann folgt aus der Monotonie [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f(x) = [mm] f(x_{0}) \forall x_{0} \in [/mm] [0,1]
Besonders bei der letzten Implikation bin ich mir unsicher.
Würde mich freuen wenn sich das jemand Mal anschaut.
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> Es seinen a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a < b und h:[0,1] -> [a,b]
> monoton mit h(0) = a und h(1) = b. Zeigen Sie: Die Funktion
> h stetig genau dann, wenn h surjektiv ist.
> Hallo,
>
> habe hier folgendes gemacht:
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Angenommen h wäre nicht surjektiv
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] y [mm]\in[/mm] [a,b] [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]: h(x)
> [mm]\not=[/mm] y.
> [mm]\Righarrow[/mm] h ist unstetig, da [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] h(x) = [mm]h(x_{0}) \not=[/mm] y für alle [mm]x_{0} \in[/mm] [0,1].
Nein, das stimmt so nicht. Du schreibst [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} h(x)=h(x_{0}). [/mm] Wenn dies deiner Aussage nach aber für alle [mm] x_0\in[0,1] [/mm] gelten würde, dann wäre das gerade Stetigkeit (!).
Tipp: Bei stetigen Funktionen auf Intervallen ist das Bild notwendigerweise wieder ein Intervall (das folgt leicht aus dem Zwischenwertsatz). Das kannst du leicht kaputt machen [...]
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] h ist surjektiv [mm]\Rightarrow \forall[/mm] y [mm]\in[/mm] [a,b] [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]: h(x) = y. Dann folgt aus der
> Monotonie [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] f(x) = [mm]f(x_{0}) \forall x_{0} \in[/mm] [0,1]
Das stimmt, aber man kann hier vllt noch ein paar Worte darüber verlieren, warum dem so ist.
Eine monotone Funktion besitzt höchstens Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen. Wegen Surjektivität ist dies aber ausgeschlossen.
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> Besonders bei der letzten Implikation bin ich mir
> unsicher.
> Würde mich freuen wenn sich das jemand Mal anschaut.
>
> LG Loriot95
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für deine Hilfe. Habe es jetzt noch Mal probiert. Hoffe so ist es nun richtig:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei h stetig [mm] \Rightarrow [/mm] h nimmt jeden Wert zwischen h(0) und h(1) an (ZWS) [mm] \Rightarrow \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]: f(x) = y. Also ist h surjektiv.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei h surjektiv. Da h monoton ist, besitzt h höchstens Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen. Da aber h surjektiv ist, ist dies nicht möglich. Also ist h stetig.
Stimmt das so? Wie ist es bei der zweiten Implikation? Ist das nicht zu unmathematisch notiert?
LG loriot95
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Hilfe. Habe es jetzt noch Mal
> probiert. Hoffe so ist es nun richtig:
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei h stetig [mm]\Rightarrow[/mm] h nimmt jeden Wert
> zwischen h(0) und h(1) an (ZWS) [mm]\Rightarrow \forall[/mm] y [mm]\in[/mm]
> [a,b] [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]: f(x) = y. Also ist h surjektiv.
Das ist O.K.
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] Sei h surjektiv. Da h monoton ist, besitzt h
> höchstens Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen. Da aber
> h surjektiv ist, ist dies nicht möglich. Also ist h
> stetig.
>
> Stimmt das so? Wie ist es bei der zweiten Implikation? Ist
> das nicht zu unmathematisch notiert?
Es ist vor allem nicht begründet !
Wir machen einen Widerspruchsbeweis: sei [mm] x_0 \in [/mm] [0,1]. Annahme: h ist in [mm] x_0 [/mm] nicht stetig. Dann haben wir:
(1) $ [mm] \limes_{x \to x_0+0}h(x) \ne h(x_0)$
[/mm]
oder
(2) $ [mm] \limes_{x \to x_0-0}h(x) \ne h(x_0)$
[/mm]
(Falls [mm] $x_0 \in \{0,1 \}$, [/mm] so gilt natürlich entweder (1) oder (2)).
Es gelte etwa (2) (der weitere Beweis für denFall (1) geht genauso)
Dann gilt:
$ L:= [mm] \limes_{x \to x_0-0}h(x)
Frage an Dich: warum gilt das ?
Nun betrachte das Intervall $I:=(L, [mm] h(x_0))$. [/mm] Es ist
(3) $I [mm] \subset [/mm] [a,b]=h([0,1])$
So, nun nenne mir eine von den obigen Zeilen, die (3) widerspricht.
FRED
>
> LG loriot95
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Vielen Dank für deine Hilfe. Habe es jetzt noch Mal
> > probiert. Hoffe so ist es nun richtig:
> >
> > [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei h stetig [mm]\Rightarrow[/mm] h nimmt jeden Wert
> > zwischen h(0) und h(1) an (ZWS) [mm]\Rightarrow \forall[/mm] y [mm]\in[/mm]
> > [a,b] [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]: f(x) = y. Also ist h surjektiv.
>
> Das ist O.K.
> >
> > [mm]"\Leftarrow":[/mm] Sei h surjektiv. Da h monoton ist, besitzt h
> > höchstens Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen. Da aber
> > h surjektiv ist, ist dies nicht möglich. Also ist h
> > stetig.
> >
> > Stimmt das so? Wie ist es bei der zweiten Implikation? Ist
> > das nicht zu unmathematisch notiert?
>
> Es ist vor allem nicht begründet !
>
> Wir machen einen Widerspruchsbeweis: sei [mm]x_0 \in[/mm] [0,1].
> Annahme: h ist in [mm]x_0[/mm] nicht stetig. Dann haben wir:
>
> (1) [mm]\limes_{x \to x_0+0}h(x) \ne h(x_0)[/mm]
>
> oder
>
> (2) [mm]\limes_{x \to x_0-0}h(x) \ne h(x_0)[/mm]
>
> (Falls [mm]x_0 \in \{0,1 \}[/mm], so gilt natürlich entweder (1)
> oder (2)).
>
> Es gelte etwa (2) (der weitere Beweis für denFall (1) geht
> genauso)
>
> Dann gilt:
>
> [mm]L:= \limes_{x \to x_0-0}h(x)
>
> Frage an Dich: warum gilt das ?
Weil h monoton ist.
> Nun betrachte das Intervall [mm]I:=(L, h(x_0))[/mm]. Es ist
>
>
> (3) [mm]I \subset [a,b]=h([0,1])[/mm]
>
> So, nun nenne mir eine von den obigen Zeilen, die (3)
> widerspricht.
h ist monoton und nicht stetig.
> FRED
> >
> > LG loriot95
>
Ist das nun so richtig?
LG Loriot95
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > > Vielen Dank für deine Hilfe. Habe es jetzt noch Mal
> > > probiert. Hoffe so ist es nun richtig:
> > >
> > > [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei h stetig [mm]\Rightarrow[/mm] h nimmt jeden Wert
> > > zwischen h(0) und h(1) an (ZWS) [mm]\Rightarrow \forall[/mm] y [mm]\in[/mm]
> > > [a,b] [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]: f(x) = y. Also ist h surjektiv.
> >
> > Das ist O.K.
> > >
> > > [mm]"\Leftarrow":[/mm] Sei h surjektiv. Da h monoton ist, besitzt h
> > > höchstens Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen. Da aber
> > > h surjektiv ist, ist dies nicht möglich. Also ist h
> > > stetig.
> > >
> > > Stimmt das so? Wie ist es bei der zweiten Implikation? Ist
> > > das nicht zu unmathematisch notiert?
> >
> > Es ist vor allem nicht begründet !
> >
> > Wir machen einen Widerspruchsbeweis: sei [mm]x_0 \in[/mm] [0,1].
> > Annahme: h ist in [mm]x_0[/mm] nicht stetig. Dann haben wir:
> >
> > (1) [mm]\limes_{x \to x_0+0}h(x) \ne h(x_0)[/mm]
> >
> > oder
> >
> > (2) [mm]\limes_{x \to x_0-0}h(x) \ne h(x_0)[/mm]
> >
> > (Falls [mm]x_0 \in \{0,1 \}[/mm], so gilt natürlich entweder (1)
> > oder (2)).
> >
> > Es gelte etwa (2) (der weitere Beweis für denFall (1) geht
> > genauso)
> >
> > Dann gilt:
> >
> > [mm]L:= \limes_{x \to x_0-0}h(x)
> >
> > Frage an Dich: warum gilt das ?
> Weil h monoton ist.
............. monoton wachsend....
> > Nun betrachte das Intervall [mm]I:=(L, h(x_0))[/mm]. Es ist
> >
> >
> > (3) [mm]I \subset [a,b]=h([0,1])[/mm]
> >
> > So, nun nenne mir eine von den obigen Zeilen, die (3)
> > widerspricht.
> h ist monoton und nicht stetig.
Nein. Wir haben einen Widerspruch zu
[mm]L:= \limes_{x \to x_0-0}h(x)
FRED
> > FRED
> > >
> > > LG loriot95
> >
>
> Ist das nun so richtig?
>
> LG Loriot95
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> >
> > > > Vielen Dank für deine Hilfe. Habe es jetzt noch Mal
> > > > probiert. Hoffe so ist es nun richtig:
> > > >
> > > > [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei h stetig [mm]\Rightarrow[/mm] h nimmt jeden Wert
> > > > zwischen h(0) und h(1) an (ZWS) [mm]\Rightarrow \forall[/mm] y [mm]\in[/mm]
> > > > [a,b] [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]: f(x) = y. Also ist h surjektiv.
> > >
> > > Das ist O.K.
> > > >
> > > > [mm]"\Leftarrow":[/mm] Sei h surjektiv. Da h monoton ist, besitzt h
> > > > höchstens Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen. Da aber
> > > > h surjektiv ist, ist dies nicht möglich. Also ist h
> > > > stetig.
> > > >
> > > > Stimmt das so? Wie ist es bei der zweiten Implikation? Ist
> > > > das nicht zu unmathematisch notiert?
> > >
> > > Es ist vor allem nicht begründet !
> > >
> > > Wir machen einen Widerspruchsbeweis: sei [mm]x_0 \in[/mm] [0,1].
> > > Annahme: h ist in [mm]x_0[/mm] nicht stetig. Dann haben wir:
> > >
> > > (1) [mm]\limes_{x \to x_0+0}h(x) \ne h(x_0)[/mm]
> > >
> > > oder
> > >
> > > (2) [mm]\limes_{x \to x_0-0}h(x) \ne h(x_0)[/mm]
> > >
> > > (Falls [mm]x_0 \in \{0,1 \}[/mm], so gilt natürlich entweder (1)
> > > oder (2)).
> > >
> > > Es gelte etwa (2) (der weitere Beweis für denFall (1) geht
> > > genauso)
> > >
> > > Dann gilt:
> > >
> > > [mm]L:= \limes_{x \to x_0-0}h(x)
> > >
> > > Frage an Dich: warum gilt das ?
> > Weil h monoton ist.
>
> ............. monoton wachsend....
>
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>
> > > Nun betrachte das Intervall [mm]I:=(L, h(x_0))[/mm]. Es ist
> > >
> > >
> > > (3) [mm]I \subset [a,b]=h([0,1])[/mm]
> > >
> > > So, nun nenne mir eine von den obigen Zeilen, die (3)
> > > widerspricht.
> > h ist monoton und nicht stetig.
>
>
> Nein. Wir haben einen Widerspruch zu
>
> [mm]L:= \limes_{x \to x_0-0}h(x)
>
Wieso denn das? Das verstehe ich nicht.Der Grenzwert nährt sich von unten und ist kleiner als [mm] h(x_0). [/mm] D.h doch das er monoton wachsend ist, genauso wie das gesamte Intervall [a,b]. Weshalb ist das nun ein Widerspruch?
>
> FRED
> > > FRED
> > > >
> > > > LG loriot95
> > >
> >
> > Ist das nun so richtig?
> >
> > LG Loriot95
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > >
> > > > > Vielen Dank für deine Hilfe. Habe es jetzt noch Mal
> > > > > probiert. Hoffe so ist es nun richtig:
> > > > >
> > > > > [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei h stetig [mm]\Rightarrow[/mm] h nimmt jeden Wert
> > > > > zwischen h(0) und h(1) an (ZWS) [mm]\Rightarrow \forall[/mm] y [mm]\in[/mm]
> > > > > [a,b] [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]: f(x) = y. Also ist h surjektiv.
> > > >
> > > > Das ist O.K.
> > > > >
> > > > > [mm]"\Leftarrow":[/mm] Sei h surjektiv. Da h monoton ist, besitzt h
> > > > > höchstens Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen. Da aber
> > > > > h surjektiv ist, ist dies nicht möglich. Also ist h
> > > > > stetig.
> > > > >
> > > > > Stimmt das so? Wie ist es bei der zweiten Implikation? Ist
> > > > > das nicht zu unmathematisch notiert?
> > > >
> > > > Es ist vor allem nicht begründet !
> > > >
> > > > Wir machen einen Widerspruchsbeweis: sei [mm]x_0 \in[/mm] [0,1].
> > > > Annahme: h ist in [mm]x_0[/mm] nicht stetig. Dann haben wir:
> > > >
> > > > (1) [mm]\limes_{x \to x_0+0}h(x) \ne h(x_0)[/mm]
> > > >
> > > > oder
> > > >
> > > > (2) [mm]\limes_{x \to x_0-0}h(x) \ne h(x_0)[/mm]
> > > >
> > > > (Falls [mm]x_0 \in \{0,1 \}[/mm], so gilt natürlich entweder (1)
> > > > oder (2)).
> > > >
> > > > Es gelte etwa (2) (der weitere Beweis für denFall (1) geht
> > > > genauso)
> > > >
> > > > Dann gilt:
> > > >
> > > > [mm]L:= \limes_{x \to x_0-0}h(x)
> > > >
> > > > Frage an Dich: warum gilt das ?
> > > Weil h monoton ist.
> >
> > ............. monoton wachsend....
> >
> >
> >
> > > > Nun betrachte das Intervall [mm]I:=(L, h(x_0))[/mm]. Es ist
> > > >
> > > >
> > > > (3) [mm]I \subset [a,b]=h([0,1])[/mm]
> > > >
> > > > So, nun nenne mir eine von den obigen Zeilen, die (3)
> > > > widerspricht.
> > > h ist monoton und nicht stetig.
> >
> >
> > Nein. Wir haben einen Widerspruch zu
> >
> > [mm]L:= \limes_{x \to x_0-0}h(x)
> >
> Wieso denn das? Das verstehe ich nicht.
Es ist [mm] $L
Mach Dir eine Skizze der obigen Situation.
> Der Grenzwert nährt
> sich von unten und ist kleiner als [mm]h(x_0).[/mm] D.h doch das er
> monoton wachsend ist,
Hä, der Grenzwert L ist eine Zahl, mehr nicht
> genauso wie das gesamte Intervall
> [a,b].
Nochmal hä ? [a,b] ist nicht monoton.
FRED
Weshalb ist das nun ein Widerspruch?
> >
> > FRED
> > > > FRED
> > > > >
> > > > > LG loriot95
> > > >
> > >
> > > Ist das nun so richtig?
> > >
> > > LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Werde mir das noch Mal genau durch den Kopf gehen lassen. Jedenfalls vielen Dank für deine Hilfe und Geduld mit mir.
LG Loriot95
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