Beweis rat und irrat Zahl < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 So 14.05.2006 | | Autor: | Maths |
| Aufgabe | a) Beweisen sie, dass die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl immer eine irrationale Zahl ergibt
b) kann man eine analoge aussage über die summe zweier irrat. zahlen treffen? |
Wäre echt toll wenn einer ne idee für einen beweis hätte ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:58 So 14.05.2006 | | Autor: | Wolferl |
> a) Beweisen sie, dass die Summe einer rationalen und einer
> irrationalen Zahl immer eine irrationale Zahl ergibt
> b) kann man eine analoge aussage über die summe zweier
> irrat. zahlen treffen?
> Wäre echt toll wenn einer ne idee für einen beweis hätte
> ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hi Stefanie,
Ich denke, der Beweis könnte darüber funktionieren, dass sich irrationale Zahlen als Vektoren im zweidimensionalen Raum ( Realteil / Imaginärteil ) auffassen lassen. Wenn Du zu einer irrationalen Zah, also zu einer Zahl, deren imaginäre Komponente ungleich Null ist, eine rationale Zahl addierst, bleibt die imaginäre Komponente unverändert. Nicht so, wenn Du wieder eine imaginäre Zahl addierst:
[mm]\begin{pmatrix} Re(z_1) \\ Im(z_1) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} Re(z_2) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Re(z_1 + z_2) \\ Im(z_1) \end{pmatrix}[/mm]
Ich hoffe, Dir damit geholfen zu haben.
Liebe Grüße, Wolferl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 So 14.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Wolferl!
> Ich denke, der Beweis könnte darüber funktionieren, dass
> sich irrationale Zahlen als Vektoren im zweidimensionalen
> Raum ( Realteil / Imaginärteil ) auffassen lassen. Wenn Du
> zu einer irrationalen Zah, also zu einer Zahl, deren
> imaginäre Komponente ungleich Null ist, eine rationale Zahl
> addierst, bleibt die imaginäre Komponente unverändert.
> Nicht so, wenn Du wieder eine imaginäre Zahl addierst:
>
> [mm]\begin{pmatrix} Re(z_1) \\ Im(z_1) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} Re(z_2) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Re(z_1 + z_2) \\ Im(z_1) \end{pmatrix}[/mm]
Du verwechselst hier `rational/irrational' mit `rein reell/nicht rein reell'! Eine rationale Zahl ist ein Bruch aus zwei ganzen Zahlen, und eine irrationale Zahl ist ein Element aus [mm] $\IR$, [/mm] was nicht in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt!
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 So 14.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefanie!
> a) Beweisen sie, dass die Summe einer rationalen und einer
> irrationalen Zahl immer eine irrationale Zahl ergibt
Weisst du schon, dass die Summe und die Differenz zweier rationaler Zahlen wieder rational ist? Dann nimm doch mal an, du haettest eine irrationale Zahl $a$ und eine rationale Zahl $b$ so, dass $a + b$ rational ist. Aber dann ist $a = (a + b) - b$ ... Siehst du es jetzt?
> b) kann man eine analoge aussage über die summe zweier
> irrat. zahlen treffen?
Also $x + (-x) = 0$ ist immer rational. Bekommst du das damit hin?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 So 14.05.2006 | | Autor: | Wolferl |
Hallo Felix, hallo Stefanie,
sorry, wirklich zu blööd von mir ...
Liebe Grüße, Wolferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 14.05.2006 | | Autor: | Maths |
kein problem
also nochmal zu b)
das hab ich auch schon rausgefunden.
jedoch weiss ich nciht was passiert wenn man 2 irrat. addiert, wo die eine nicht das neg. der anderen ist?!?
zu a)
felix ich habe leider noch nicht ganz verstanden was das letztendlich bedeutet :(
du hast ja quasi a+b (wenn a=irrat. und b= rat.) aso eine rat. zahl angenommen.
dann von dieser rat. zahl eine andere rat zahl abgezogen was ja laut gesetz wiedrrum eine rat sein müsste.
doch hier ist sie eine irrat.
hab ich das richtig verstanden?!?
Somit kann man letztendlich sagen, dass die summe von irrat und rat zahle immer eine irrat ist?!?
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Hallo Maths,
wie wäre es mit einem Gegenbeispiel?
Wenn du nicht das Negative der eingen irrationalen Zahl dazuaddieren möchtest (was ja bereits eine rationale Zahl ergibt!), dann nimm doch z.B. folgende Zahlen: [mm]a= \wurzel{2}[/mm] und [mm]b= 1-\wurzel{2}[/mm]
Beide Zahlen sind ja wohl irrational, aber ihre Summe ist 1...
Viele Grüße,
zerbinetta
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