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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Beweisen Sie direkt (nicht durch vollständige Induktion) für n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] x,x_{1},...x_{n} \in \IR_{>0}:
[/mm]
a) [mm] \bruch{x_{n}}{1+x+x^{2}+...+x^{2n}} \le \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}*x_{j} \le \bruch{n*(n-1)}{2}*[\bruch{x_{1}+...+x_{n}}{n}]^{2} [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2. |
Hallo^^
Ich habe versucht die beiden Aussagen zu beweisen, habe einiges auprbiert, komme aber nicht mehr weiter.
a) Zu zeigen: [mm] \bruch{x_{n}}{1+x+x^{2}+...+x^{2n}} \le \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
Zunächst mache ich die Brüche weg und habe
[mm] x^{n}*(2n+1) \le \underbrace{1+x+x^{2}+...+x^{2n}}_{>1} [/mm] .
[mm] x^{n}*(2n+1)+(\underbrace{-1(1+x+x^{2}+...+x^{2n})}_{< 0}) \le [/mm] 1
Dann muss ich doch eigentlich nur noch zeigen,dass [mm] x^{n}*(2n+1) \le [/mm] 1 ist oder? Da komme ich aber nicht mehr weiter.
Ich hab es noch etwas anders versucht, unzwar so:
[mm] x^{n}*(2n+1)-(x+x^{2}+...+x^{2n}) \le [/mm] 1
Dann kann ich das x ausklammer und habe
[mm] \underbrace{x}_{>0}*(2n*x^{n-1}+x^{n-1}\underbrace{-(1+x^{2}+...+x^{2n})}_{<0} \le [/mm] 1
Bis hier hin bin ich gekommen, aber ich finde weiter keine Umformung die mich weiter bringt.
b) Zu zeigen: [mm] \summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}*x_{j} \le \bruch{n*(n-1)}{2}*[\bruch{x_{1}+...+x_{n}}{n}]^{2} [/mm] mit n>1.
Zunächst ist mir aufgefallen, dass [mm] \bruch{x_{1}+...+x_{n}}{n} [/mm] das arithmetische Mittel ist, aber ich weiß nicht ob mir das etwas bringt.
Also ich kann schonmal schreiben:
[mm] \bruch{n*(n-1)}{2}*[\bruch{x_{1}+...+x_{n}}{n}]^{2}=\bruch{n*(n-1)}{2}*\bruch{(x_{1}+...+x_{n})^{2}}{n^{2}}=\bruch{(n-1)}{2}*\bruch{(x_{1}+...+x_{n})^{2}}{n}=\bruch{(n-1)*(x_{1}+...+x_{n})*(x_{1}+...+x_{n})}{2n} [/mm] >0.
Also muss ich jetzt zeigen, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}*x_{j} \le \bruch{(n-1)*(x_{1}+...+x_{n})*(x_{1}+...+x_{n})}{2n}.
[/mm]
Mir bereitet die doppelte Summe ein Problem, ich weiß zwar wie man eine doppelte Summe berechnet, aber ich weiß nicht, wie ich mit ihr umgehen soll bzw. wie ich sie hier umformen kann.
Wäre lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie direkt (nicht durch vollständige Induktion)
> für n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]x,x_{1},...x_{n} \in \IR_{>0}:[/mm]
>
> a) [mm]\bruch{x_{n}}{1+x+x^{2}+...+x^{2n}} \le \bruch{1}{2n+1}[/mm]
Hallo,
hilft es zu wissen, dass [mm] 1+x+x^{2}+...+x^{2n}=\bruch{x^{2n+1}-1}{x-1} [/mm] ist?
>
> b) [mm]\summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}*x_{j} \le \bruch{n*(n-1)}{2}*[\bruch{x_{1}+...+x_{n}}{n}]^{2}[/mm]
> mit n [mm]\ge[/mm] 2.
>
> Hallo^^
>
> Ich habe versucht die beiden Aussagen zu beweisen, habe
> einiges auprbiert, komme aber nicht mehr weiter.
>
> a) Zu zeigen: [mm]\bruch{x_{n}}{1+x+x^{2}+...+x^{2n}} \le \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> Zunächst mache ich die Brüche weg und habe
>
> [mm]x^{n}*(2n+1) \le \underbrace{1+x+x^{2}+...+x^{2n}}_{>1}[/mm] .
>
> [mm]x^{n}*(2n+1)+(\underbrace{-1(1+x+x^{2}+...+x^{2n})}_{< 0}) \le[/mm]
> 1
>
> Dann muss ich doch eigentlich nur noch zeigen,dass
> [mm]x^{n}*(2n+1) \le[/mm] 1 ist oder? Da komme ich aber nicht mehr
> weiter.
>
> Ich hab es noch etwas anders versucht, unzwar so:
>
> [mm]x^{n}*(2n+1)-(x+x^{2}+...+x^{2n}) \le[/mm] 1
>
> Dann kann ich das x ausklammer und habe
> [mm]\underbrace{x}_{>0}*(2n*x^{n-1}+x^{n-1}\underbrace{-(1+x^{2}+...+x^{2n})}_{<0} \le[/mm]
> 1
> Bis hier hin bin ich gekommen, aber ich finde weiter keine
> Umformung die mich weiter bringt.
>
> b) Zu zeigen: [mm]\summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}*x_{j} \le \bruch{n*(n-1)}{2}*[\bruch{x_{1}+...+x_{n}}{n}]^{2}[/mm]
> mit n>1.
>
> Zunächst ist mir aufgefallen, dass
> [mm]\bruch{x_{1}+...+x_{n}}{n}[/mm] das arithmetische Mittel ist,
> aber ich weiß nicht ob mir das etwas bringt.
>
> Also ich kann schonmal schreiben:
>
> [mm]\bruch{n*(n-1)}{2}*[\bruch{x_{1}+...+x_{n}}{n}]^{2}=\bruch{n*(n-1)}{2}*\bruch{(x_{1}+...+x_{n})^{2}}{n^{2}}=\bruch{(n-1)}{2}*\bruch{(x_{1}+...+x_{n})^{2}}{n}=\bruch{(n-1)*(x_{1}+...+x_{n})*(x_{1}+...+x_{n})}{2n}[/mm]
> >0.
>
> Also muss ich jetzt zeigen, dass
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}*x_{j} \le \bruch{(n-1)*(x_{1}+...+x_{n})*(x_{1}+...+x_{n})}{2n}.[/mm]
>
> Mir bereitet die doppelte Summe ein Problem, ich weiß zwar
> wie man eine doppelte Summe berechnet, aber ich weiß
> nicht, wie ich mit ihr umgehen soll bzw. wie ich sie hier
> umformen kann.
>
> Wäre lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Beweisen Sie direkt (nicht durch vollständige Induktion)
> > für n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]x,x_{1},...x_{n} \in \IR_{>0}:[/mm]
> >
> > a) [mm]\bruch{x_{n}}{1+x+x^{2}+...+x^{2n}} \le \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> Hallo,
> hilft es zu wissen, dass
> [mm]1+x+x^{2}+...+x^{2n}=\bruch{x^{2n+1}-1}{x-1}[/mm] ist?
> >
Ich hab versucht, damit weiter zu kommen,aber das bringt mir nicht viel.Ich bin so weit gekommen:
[mm] x^{n}*(x-1)*(2n+1) \le x^{2n}+1
[/mm]
[mm] (x^{n+1}-x^{n})*(2n+1) \le x^{2n}+1
[/mm]
aber weiter komme ich auch nicht mehr.
Und ich glaube, wenn ich das benutzen will, was du gesagt hast, müsste ich das zuerst auch beweisen.
Kann man die Aussagen nicht noch irgendwie anders beweisen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
fehlt bei 1 nicht noch was? also weiss man was über die [mm] x_i?
[/mm]
denn egal wie gross der nenner ist, kann ich [mm] x_n [/mm] immer so gross wählen, dass die linke Seite größer der Rechten ist:
oder steht oben [mm] x^n, [/mm] aber was soll das dann mit [mm] x_1,x_2,..\in\IR?
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> fehlt bei 1 nicht noch was? also weiss man was über die
> [mm]x_i?[/mm]
> denn egal wie gross der nenner ist, kann ich [mm]x_n[/mm] immer so
> gross wählen, dass die linke Seite größer der Rechten
> ist:
> oder steht oben [mm]x^n,[/mm] aber was soll das dann mit
> [mm]x_1,x_2,..\in\IR?[/mm]
In der Tat,im Zähler steht [mm] x^{n},ich [/mm] hatte mich vertippt.Ich glaube die [mm] x_{1},x_{2},...\in \IR [/mm] beziehen sich auf Teil b).
Aber ich hab grad etwas weitergearbeitet an meinem Ansatz und bin auf folgendes gekommen:
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}\cdot{}x_{j} \le \bruch{(n-1)\cdot{}(x_{1}+...+x_{n})\cdot{}(x_{1}+...+x_{n})}{2n} [/mm] genau dann wenn
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}\cdot{}x_{j} \le \bruch{(n-1)\cdot{}(x_{n}+\summe_{i=1}^{n-1}x_{i})\cdot{}(x_{n}+\summe_{i=1}^{n-1}x_{i})}{2n}.
[/mm]
Kann man jetzt nicht die doppelte Summe auf der rechten Seite irgendwie auseinanderziehen oder so?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
multiplizier doch mal deine Klammern aus und schreib das Ergebnis in Summenschreibweise!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> multiplizier doch mal deine Klammern aus und schreib das
> Ergebnis in Summenschreibweise!
Ok,das hab ich mal gemacht:
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}\cdot{}x_{j} \le \bruch{(n-1)\cdot{}(x_{n}+\summe_{i=1}^{n-1}x_{i})\cdot{}(x_{n}+\summe_{i=1}^{n-1}x_{i})}{2n}
[/mm]
Wenn ich hier alle Klammern auflöse und die Summanden zusammenfasse soweit es geht, dann komme ich auf:
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}\cdot{}x_{j} \le \bruch{x_{n}}{2}-\bruch{x_{n}^{2}}{2n}+x_{n}*\bruch{(n-1)}{n}*\summe_{i=1}^{n-1}x_{i}-\bruch{1}{2}*\summe_{i=1}^{n-1}x_{i}
[/mm]
Die Zwischenschritte habe ich jetzt weggelassen,kann sie aber auch noch posten, wenn bedarf ist.
Und das ganze in Summenschreibweise zu schreiben finde ich etwas schwierig, weil ich da keine Regelmäßigkeit sehe, sodass ich es in Summenschreibweise schreiben könnte.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (x1+x2+x3+..xn)^2=x1^2+x2^2+...+x_n^2+ [/mm] 2x1x2+2x1x3+...+2x2x3+.... [mm] +x_{n-1}*x_n)
[/mm]
kannst du das als Summen bzw als Doppelsummen schreiben?
was du gemacht hast versteh ich nicht.
und lass vorerst den Vorfaktor it den n weg.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Fr 17.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich vermute das die Funktion an der Stelle x=1 ein Maximum hat. Dann folgt mit
[mm] f(x)=\br{x^n}{\summe_{i=0}^{2n}x^i}
[/mm]
[mm] f(x)\le f(1)=\br{1}{2n+1}
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi,
>
> ich vermute das die Funktion an der Stelle x=1 ein Maximum
> hat. Dann folgt mit
>
> [mm]f(x)=\br{x^n}{\summe_{i=0}^{2n}x^i}[/mm]
>
> [mm]f(x)\le f(1)=\br{1}{2n+1}[/mm]
Das mag sein, aber ich glaube wir sollen das nicht mit Maximum und Ableitung usw. begründen,weil wir das noch gar nicht hatten.
Kann man nicht irgendwas mit meinen Ansätzen machen?
Sind die komplett unbrauchbar?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit deinen sätzen kannst du wenig anfangen, weil du die summe des nenners kaum abschätzen kannst, wenn du sie nicht ausführst.
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 19.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Sei
[mm] f(x)=\br{x^n}{\summe_{k=0}^{2n}x^k}
[/mm]
Die Idee ist jetzt folgende:
(1) f'(x) berechnen und zeigen das x=1 eine Nullstelle von f'(x) ist
(2) Zeigen das x=1 die einzige Nullstelle von f'(x) in [mm] x\in\IR^{+} [/mm] ist, also für x>0
Zu (1)
Es gilt
(*) [mm] f'(x)=\br{x^{n-1}}{\left[\summe_{k=0}^{2n}x^k\right]^2}*\summe_{k=0}^{2n}\left[(n-k)*x^k\right]
[/mm]
es gilt f'(1)=0, also liegt bei x=1 ein Extremwert vor.
Zu (2)
Es soll zuerst gezeigt werden das f'(x)>0 für [mm] x\in(0,1) [/mm] und f'(x)<0 für [mm] x\in(1,\infty)
[/mm]
Weil der Faktor vor der Summe in (*) größer 0 ist genügt es zu zeigen, das obige Behauptung für
[mm] \summe_{k=0}^{2n}\left[(n-k)*x^k\right] [/mm] gilt
Umrechnen von [mm] \summe_{k=0}^{2n}\left[(n-k)*x^k\right] [/mm] ergibt
[mm] \summe_{k=0}^{2n}\left[(n-k)*x^k\right]=\summe_{k=0}^{n-1}(n-k)*x^k*(1-x^{n-k})*(1+x^{n-k})
[/mm]
Bis auf [mm] (1-x^{n-k}) [/mm] sind alle Faktoren in der Summe in [mm] \IR^{+} [/mm] positiv. [mm] (1-x^{n-k}) [/mm] kann zerlegt werden in [mm] (1-x)*p_{n-k-1}(x) [/mm] wobei [mm] p_m(x) [/mm] ein Polynom mit ausschließlich positiven Koeffizenten vom Grade m ist (Beispiel [mm] 1-x^3=(1-x)*(1+x+x^2). [/mm] D.h.
[mm] \summe_{k=0}^{2n}\left[(n-k)*x^k\right]=(1-x)*\summe_{k=0}^{n-1}(n-k)*x^k*p_{n-k-1}(x)*(1+x^{n-k})
[/mm]
Also gilt die Behauptung f'(x)>0 für [mm] x\in(0,1) [/mm] und f'(x)<0 für [mm] x\in(1,\infty)
[/mm]
Somit ist bei x=1 auch ein Maximum und x=1 ist die einzige Nullstelle
Also gilt [mm] f(x)\le{f(1)}=\br{1}{2n+1}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 19.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
man kann den Ausdruck
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}\cdot{}x_{j} [/mm] umformen in
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i+1}^{n}x_{i}\cdot{}x_{j}=\br{n^2*\overline{x}^2-\summe_{i=1}^{n}x_i^2}{2} [/mm] mit
[mm] \overline{x}=\br{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_i
[/mm]
Es ist also zu zeigen
[mm] \br{n^2*\overline{x}^2-\summe_{i=1}^{n}x_i^2}{2}\le\br{n(n-1)}{2}*\overline{x}^2
[/mm]
Das ist gleichbedeutend mit
[mm] \overline{x}^2\le\br{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_i^2
[/mm]
Das ist aber gleichbedeutend mit [mm] \br{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2\ge0 [/mm] was immer erfüllt ist.
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