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Beweis mit a, b und c: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:28 Mo 26.10.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Beweisen Sie:

a + b + c [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow a^3 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] + [mm] c^3 \ge [/mm] 3abc



Hallo,
in den vorangegangenen Teilaufgaben habe ich schon Beweise für

[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \ge [/mm] 2ab

und

[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 \ge [/mm] ab + ac + bc

gefunden.

Ich dachte ich kann damit irgendwas anfangen, komme aber leider nicht weiter.
Kann mir einer bitte einen Tipp geben?

Danke & Gruß

Martin


PS: Ich bin jetzt mittlerweile soweit, dass ich da stehen habe:

[mm] \bruch{a^3 + b^3 + c^3}{a + b + c} \ge [/mm] 3ab + 3ac + 3bc - [mm] \bruch{6abc + 3ab^2 + 3ac^2 + 3a^2b + 3a^c + 3bc^2 + 3b^2c}{a + b + c} [/mm]

Aber bringt mich das weiter?

PPS: Sorry, die letzte Frage war dumm. Ich hab's: Einfach auf der rechten Seite mit (a + b + c) erweitern und die Summen ausrechen, dann steht es da!

        
Bezug
Beweis mit a, b und c: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Mo 26.10.2020
Autor: sancho1980

  Hallo,
nachdem mir unter diesem Link niemand geantwortet hatte, habe ich mir die Frage ja letztendlich selbst beantwortet.
Jetzt wurde der Status der Frage irgendwie so gesetzt, dass da wahrscheinlich niemand mehr antworten wird, deswegen greif ich das hier nochmal auf.
Meine Lösung beruht ja im Grund darauf, dass ich auf der einen Seite (a + b + [mm] c)^3 [/mm] als (a + b +c)(a + b + [mm] c)^2 [/mm] schreibe und auf der anderen Seite komplett ausmultipliziere. Ich benutze weiter, dass [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 \ge [/mm] ab + ac + bc und stelle nach [mm] a^3 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] + [mm] c^3 [/mm] um, unter Anderem, indem ich durch (a + b + c) dividiere. Allerdings sehe ich grad ein kleines Problem hiermit: Die Aufgabenstellung sagt explizit, dass (a + b + c) [mm] \ge [/mm] 0, also (a + b + c) = 0 ist auch möglich. In diesem Fall dürfte die Division durch (a + b + c) unzulässig sein. Hat jemand noch eine Idee, wie man zeigen kann, dass die Ungleichung auch im Fall (a + b + c) = 0 gilt?

Danke und Gruß,
Martin

Bezug
                
Bezug
Beweis mit a, b und c: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Mo 26.10.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ist $a+b+c = 0$ so wird das eigentlich trivial.
Denn dann ist $a+b = -c$ und somit [mm] $(a+b)^3 [/mm] = [mm] -c^3$. [/mm]
Ausmultiplizieren und umstellen liefert dir: [mm] $a^3 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] + [mm] c^3 [/mm] = 3abc$

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Beweis mit a, b und c: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Mo 26.10.2020
Autor: sancho1980

Hallo,
ich kann dir grad nicht folgen...

> Hiho,
>  
> ist [mm]a+b+c = 0[/mm] so wird das eigentlich trivial.
> Denn dann ist [mm]a+b = -c[/mm] und somit [mm](a+b)^3 = -c^3[/mm].
> Ausmultiplizieren und umstellen liefert dir: [mm]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc[/mm]

Ausmultiplizieren liefert mir: [mm] a^3 [/mm] + [mm] 3a^2 [/mm] b + [mm] 3ab^2 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] = [mm] -c^3 [/mm]
Umstellen liefert mir: [mm] a^3 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] + [mm] c^3 [/mm] = [mm] -3a^2 [/mm] b - [mm] 3ab^2 [/mm]

Woher nimmst du 3abc und wohin verschwindet bei dir [mm] -3a^2 [/mm] b - [mm] 3ab^2? [/mm]

>  
> Gruß,
>  Gono


Bezug
                                
Bezug
Beweis mit a, b und c: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:10 Di 27.10.2020
Autor: Fulla


> Hallo,
> ich kann dir grad nicht folgen...

>

> > Hiho,
> >
> > ist [mm]a+b+c = 0[/mm] so wird das eigentlich trivial.
> > Denn dann ist [mm]a+b = -c[/mm] und somit [mm](a+b)^3 = -c^3[/mm].
> > Ausmultiplizieren und umstellen liefert dir: [mm]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc[/mm]

>

> Ausmultiplizieren liefert mir: [mm]a^3[/mm] + [mm]3a^2[/mm] b + [mm]3ab^2[/mm] + [mm]b^3[/mm] =
> [mm]-c^3[/mm]
> Umstellen liefert mir: [mm]a^3[/mm] + [mm]b^3[/mm] + [mm]c^3[/mm] = [mm]-3a^2[/mm] b - [mm]3ab^2[/mm]

>

> Woher nimmst du 3abc und wohin verschwindet bei dir [mm]-3a^2[/mm] b
> - [mm]3ab^2?[/mm]

Hallo Martin,

es ist doch [mm]-3a^2b-3ab^2=-3ab\underbrace{(a+b)}_{=-c}=3abc[/mm].

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
                                        
Bezug
Beweis mit a, b und c: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:09 Do 29.10.2020
Autor: sancho1980

Vielen Dank.
Ich habe neulich nochmal über meine Lösung nachgedacht und frage mich eine Sache:

Warum ist es für den Beweis eigentlich wichtig, dass a + b + c [mm] \ge [/mm] 0? Ist er für a + b + c < 0 nicht gültig? Ich sehe nicht warum ...

Um nicht nochmal alles abzutippen, meine Lösung als Bild:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Danke und Gruß,

Martin

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                
Bezug
Beweis mit a, b und c: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Do 29.10.2020
Autor: fred97


> Vielen Dank.
>  Ich habe neulich nochmal über meine Lösung nachgedacht
> und frage mich eine Sache:
>  
> Warum ist es für den Beweis eigentlich wichtig, dass a + b
> + c [mm]\ge[/mm] 0? Ist er für a + b + c < 0 nicht gültig? Ich
> sehe nicht warum ...


Nehmen wir z.B. a=c=-1 und b=0. Dann ist

$a+b+c=-2<0, [mm] a^3+b^3+c^3=-2$, [/mm] aber $3abc=0.$



Bezug
                                                
Bezug
Beweis mit a, b und c: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 Do 29.10.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Warum ist es für den Beweis eigentlich wichtig, dass a + b
> + c [mm]\ge[/mm] 0? Ist er für a + b + c < 0 nicht gültig? Ich
> sehe nicht warum ...

> Um nicht nochmal alles abzutippen, meine Lösung als Bild:

Manchmal wäre es sinnvoll, alle Schritte sauber abzutippen und es nicht dem Leser zu überlassen, das zu tun, dann löst sich sowas von selbst…
Du multiplizierst beim Umstellen mit a+b+c, sodass sich das Relationszeichen umkehrt.

Es heißt dann also: [mm] $a^3 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] + c ³ [mm] \le [/mm] 3abc$

Was ich jetzt nicht geprüft hab: Ob deine angewendete Ungleichung [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 \ge [/mm] ab +bc+ ca$ noch irgendwelche Bedingungen hat…

Gruß,
Gono


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