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Forum "Folgen und Reihen" - Beweis mit Gaußklammern
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Beweis mit Gaußklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Do 26.07.2012
Autor: fairytale

Aufgabe
Die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] sei rekursiv definiert durch
[mm] a_{1}=1 [/mm]
[mm] a_{n+1}=(n+1)*a_{n}+1 [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] \forall n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] a_{n}=[(e-1)*n!] [/mm]


Hallo,
ich habe ein paar Probleme mit diesem Beweis.
Mein bisheriger Ansatz läuft über vollständige Induktion, hakt dann aber leider an einer bestimmten Stelle.

Vollständige Induktion über n:
Induktionsanfang:
"n=1":
[mm]a_{1}=1=[e-1][/mm]

Induktionsschritt:
Die Behauptung gelte für ein [mm] n\in\IN. [/mm] Dann gilt für n+1:
[mm]a_{n+1}=(n+1)*a_{n}+1 [/mm]
[mm]=(n+1)*[(e-1)n!]+1[/mm]
[mm]=(n+1)*[e*n!-n!]+1[/mm]
[mm]=(n+1)*([e*n!]-[n!])+1 [/mm]
[mm]=(n+1)*[e*n!]-(n+1)*n!+1[/mm]
[mm]=(n+1)*[e*n!]-(n+1)!+1[/mm]

Wenn man das, was zu zeigen ist, ebenfalls umstellt, erhält man:
[mm][(e-1)(n+1)!]=[e(n+1)!-(n+1)!][/mm]
[mm]=[e(n+1)!]-(n+1)![/mm]

Somit bleibt im Prinzip (nach Addieren von (n+1)! auf beiden Seiten der geforderten "Gleichung") noch zu zeigen:

[mm][e(n+1)!]=(n+1)*[e*n!]+1[/mm]

So, und an diesem Punkt komme ich nicht weiter, weil ich so meine Probleme mit der Gauß-Klammer habe.
Die ist ja definiert durch:
[mm][x]=max\{z\in\IZ|z<=x\}.[/mm]
Aber wie hilft mir das bei meinem Beweis weiter?

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
LG
fairytale


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis mit Gaußklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Fr 27.07.2012
Autor: leduart

Hallo
nach Def ist doch [mm] a_2=2*1+1=3 [/mm]
aber [mm] a_2=[(e-1)*1!]=1 [/mm]
also kann die Behauptung nicht gelten
aber rechne selbst nach, vielleicht ist auch mir die Hitze zu gross
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Beweis mit Gaußklammern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 Fr 27.07.2012
Autor: fairytale

Ups, da ist mir wohl ein Tippfehler unterlaufen.
Es soll $ [mm] a_{n}=[(e-1)\cdot{}n!] [/mm] $ bewiesen werden... Dann klappt das auch mit $ [mm] a_{2} [/mm] $

Bezug
        
Bezug
Beweis mit Gaußklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Fr 27.07.2012
Autor: SEcki


>  [mm]a_{n+1}=[(e-1)*n!][/mm]

Das erste heißt wohl [m]a_n[/m], oder?

> So, und an diesem Punkt komme ich nicht weiter, weil ich so
> meine Probleme mit der Gauß-Klammer habe.
>  Die ist ja definiert durch:
>  [mm][x]=max\{z\in\IZ|z<=x\}.[/mm]
>  Aber wie hilft mir das bei meinem Beweis weiter?

Definition einer Funktion halt ... Ich würde mit der Reihendarstellung von e arbeiten, d.h. [m]e=\sum_k\bruch{1}{k!}[/m] und damit beide Seiten deiner Gleichung berechnen.

SEcki


Bezug
                
Bezug
Beweis mit Gaußklammern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Fr 27.07.2012
Autor: fairytale

Danke, auf die Reihendarstellung bin ich nicht gekommen.
Jetzt müsste es funktionieren.

Bezug
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