Beweis kommutativ Diagramm < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Es sind irgendwelche Mengen A, B, C, D gegeben, sowie Abbildung a: A [mm] \to [/mm] B, x [mm] \mapsto [/mm] a(x) ; b: A [mm] \to [/mm] C, x [mm] \mapsto [/mm] b(x) ; c: B [mm] \to [/mm] D, x [mm] \mapsto [/mm] c(x) ; d: C [mm] \to [/mm] D, x [mm] \mapsto [/mm] d(x), die die Gleichung c [mm] \circ [/mm] a = d [mm] \circ [/mm] b erfüllen. (Dann folgt ein graphisch dargestelltes kommutativ Diagramm, dass ich hier nicht wiedergeben kann)
Zeigen Sie, dass dann gilt: (b bijektiv [mm] \wedge [/mm] c bijektiv) [mm] \Rightarrow [/mm] ( a injektiv [mm] \gdw [/mm] d injektiv)
(in wort: sind b und c bijektiv, so ist a genau dann injektiv, wenn d es ist) |
Hallo liebe Mathe-Studenten,
habt Ihr eine Idee wie ich diesen Beweis formulieren muss?
Wenn ich mir das durchdenke, dann ist es für mich logisch, aber ich kann es einfach nicht mathe-gerecht aufs Papier bringen.
Any idea?
vielen lieben Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Giorda,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wie man hier im Forum ein Bild hochlädt, kannst Du hier nachlesen.
Ich denke mal, dass dieses schon zum Helfen vonnöten ist ...
Gruß
Loddar
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Das wollte ich so oder so mal testen, daher hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
vielen Dank für das Diagramm 
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Hallo,
ich mache dir mal die eine Richtung vor. Es gilt [mm] $c\circ a=d\circ [/mm] b$, weiterhin sind b und c bijektiv. Sei nun a injektiv. Wähle [mm] $c_1,c_2\in [/mm] C$ mit [mm] $c_1\neq c_2$. [/mm] Wir wollen zeigen, dass daraus folgt [mm] $d(c_1)\neq d(c_2)$, [/mm] also die Injektivität von d.
Aus der Bijektivität von b folgt, dass [mm] $a_1,a_2\in [/mm] A$ mit [mm] $a_1\neq a_2$ [/mm] existieren, so dass [mm] $b(a_1)=c_1\neq c_2=b(a_2)$.
[/mm]
Jetzt nutzen wir aus, dass a injektiv ist, damit folgt aus der Ungleichheit [mm] $a_1\neq a_2$ [/mm] direkt [mm] $a(a_1)\neq a(a_2).$ [/mm] Aus der Bijektivität von c und der Voraussetzung [mm] $c\circ a=d\circ [/mm] b$ folgt:
[mm] $d(c_1)=d(b(a_1))=(d\circ b)(a_1)=(c\circ a)(a_1)=c(a(a_1))\neq c(a(a_2))=(c\circ a)(a_2)=(d\circ b)(a_2)=d(b(a_2))=d(c_2)$,
[/mm]
womit die Injektivität von d bewiesen wäre.
Viel Glück bei der zweiten Richtung
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Hallo,
kommt drauf an, was du damit meinst, es ist ein bisschen einfacher (hätte ich mal vorher nachgedacht vor dem Tippen, hätte ich die andere Richtung vorgemacht  ), da man nicht den Schritt: "weil b injektiv ist, existieren a1, a2 usw." machen muss.
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