Beweis für alle Gruppen (G, *) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
In jeder Gruppe [mm]$ (G, *) $[/mm] gilt:
[mm] $(a*b)^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} [/mm] * [mm] b^{-1}$ [/mm] für alle $a,b [mm] \in [/mm] G$ |
Mein Gedanke ist, beide Seiten von links mit a und von rechts mit b zu multiplizieren, also
[mm]
\begin{matrix}
a * (a*b)^{-1} * b &=& a*a^{-1} * b^{-1} * b \\
a * (a*b)^{-1} * b &=& e * e \\
a * (a*b)^{-1} * b &=& e
\end{matrix}
[/mm]
Meine Frage wäre nun, "darf" ich so einfach die Elemente außerhalb der Klammer in die Klammer hineinbringen? Also
[mm]
\begin{matrix}
(a^{-1}*a*b * b^{-1})^{-1} &=& e \\
(e*e)^{-1} &=& e \\
e^{-1} &=& e \\
e &=& e
\end{matrix}
[/mm]
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Hallo Wastelander,
> Beweisen Sie oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
>
> In jeder Gruppe [mm]$ (G, *) $[/mm] gilt:
> [mm](a*b)^{-1} = a^{-1} * b^{-1}[/mm] für alle [mm]a,b \in G[/mm]
> Mein
> Gedanke ist, beide Seiten von links mit a und von rechts
> mit b zu multiplizieren, also
>
> [mm]
\begin{matrix}
a * (a*b)^{-1} * b &=& a*a^{-1} * b^{-1} * b \\
a * (a*b)^{-1} * b &=& e * e \\
a * (a*b)^{-1} * b &=& e
\end{matrix}
[/mm]
>
> Meine Frage wäre nun, "darf" ich so einfach die Elemente
> außerhalb der Klammer in die Klammer hineinbringen?
Definitiv nein!
> Also
>
> [mm]
\begin{matrix}
(a^{-1}*a*b * b^{-1})^{-1} &=& e \\
(e*e)^{-1} &=& e \\
e^{-1} &=& e \\
e &=& e
\end{matrix}
[/mm]
Obige Aussage ist für allg. Gruppen falsch und gilt nur für abelsche Gruppen
Allg. gilt [mm] $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
[/mm]
Suche also nach einem Gegenbsp.!
LG
schachuzipus
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