Beweis für Ungleichheit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:19 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Iceman |
Hallo euch allen,
ich habe einige Aufgaben von folgendem Typ und würde gerne wissen wollen wie man sowas angeht und rechnet.
Zeige, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] folgende Ungleichheit gilt, und Gleichheit nur für x=0 gilt: [mm] e^x \ge [/mm] 1+x
Vielen Dank schon mal fürs Lesen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Iceman!
> Hallo euch allen,
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> ich habe einige Aufgaben von folgendem Typ und würde gerne
> wissen wollen wie man sowas angeht und rechnet.
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> Zeige, dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] folgende Ungleichheit gilt,
> und Gleichheit nur für x=0 gilt: [mm]e^x \ge[/mm] 1+x
Das finde ich so ohne weiteres schwer zu beantworten (schwer, weil ich eure Vorlesung nicht kenne). Wir hatten die Aussage [mm]e^x\ge1+x[/mm] [mm]\forall x \in \IR[/mm] (in einem Einzeiler) so bewiesen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf, Satz 7.7, S.67 (skriptinterne Zählung)
(Dort ist aber noch nicht bewiesen, dass Gleichheit genau im Falle $x=0$ gilt!)
Die Schwierigkeit ist, dass ihr evtl. ganz andere Hilfsmittel zur Verfügung habt:
Dazu würde mich interessieren:
Wie habt ihr die Exponentialfkt. definiert? (Über eine: Reihe? Folge?)
Habt ihr schon Ableitungen behandelt? Schonmal was über konvexe Funktionen gehört?
Die strenge Konvexität der Exp.-Fkt. könnte jedenfalls hilfreich sein (und das Wissen: [mm] $(\exp(0)=)\;e^0=1$)...
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Do 27.01.2005 | | Autor: | Iceman |
Von Konvexität habe ich noch nichts gehört. Ableitungen haben wir noch nicht so gemacht.
Die Exponentialfunktion haben wir so definiert:
exp(x): K [mm] \to [/mm] K, x [mm] \mapsto [/mm] exp(x)= [mm] \sum_{n=0}^{ \infty} \bruch{x^n}{n!}
= 1+ \sum_{n=1}^{ \infty} \bruch{x^n}{n!} [/mm]
Dann haben wir noch dazu geschrieben (aufgrund eines vorherigen Beispiels) dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n!} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Also gilt auch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n] \bruch{{\left| x^n \right|}}{n!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{{\left| x \right|}}{{\wurzel[n]{n!}} [/mm] =0
Deshalb konvergiert die Reihe [mm] ( \sum \bruch{x^n}{n!})_n \in\IN_0 [/mm] absolut.
Danke dir für deine Antwort!!
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Hallo Iceman,
Ich glaube die Lösung die von dir erwartet wird läuft darauf hinaus, dass du [mm] e^x-1-x [/mm] betrachtest (schreib [mm] e^x [/mm] in der von dir benutzten Reihendarstellung) und dann solltest du sehen, dass dieser Term für x [mm] \neq [/mm] 0 positiv ist.
viele Grüße
Michael
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