Beweis für Nullmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Di 30.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei A in [mm] M_{nn}(R) [/mm], wobei R ein kommutativer Ring ist.
Beweisen Sie, wenn [mm] Ax=\pmat{0\\.\\.\\0} [/mm] für alle [mm] x \in M_{n1}(R) [/mm] dann ist A die Nullmatrix. |
Hallo,
wenn ich mal eine 2x2 Matrix wähle und sage, dass [mm] A=\pmat{a & b\\c & d} [/mm].
Dann wäre [mm] Ax=\pmat{ax+bx\\cx+dx} [/mm].
Mit dem Distributivgesetz, das in einem kommutativen Ring gilt, kann ich x ausklammern und erhalte [mm] Ax=\pmat{x(a+b)\\x(c+d)} [/mm].
Aber daraus kann ich doch folgern, dass A eben nicht die Nullmatrix sein muss, um [mm] Ax=\pmat{0\\.\\.\\0} [/mm] zu erhalten.
Wenn a=-b und c=-d ist, dann bekomme ich doch auch dieses Ergebnis.
Wo ist mein Denkfehler ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
führe den Beweis besser umgekehrt:
Sei A nicht die Nullmatrix. Dann gibt es eine Spalte in A die nicht gleich Null ist....
jetzt bist du dran....
gib einen Vektor x an, so daß $ Ax [mm] \neq [/mm] 0$ ist.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Di 30.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Will,
vielen Dank für Deine Hilfe !
> führe den Beweis besser umgekehrt:
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> Sei A nicht die Nullmatrix. Dann gibt es eine Spalte in A
> die nicht gleich Null ist....
>
> jetzt bist du dran....
>
> gib einen Vektor x an, so daß [mm]Ax \neq 0[/mm] ist.
[mm] A=\pmat{1 & 0 \\0&0}
[/mm]
Dann ist
[mm] Ax=\pmat{1x \\0}
[/mm]
Ok, dann kommt nicht die Nullmatrix raus.
Aber was ist mit folgendem Beispiel:
[mm] A=\pmat{1 & -1\\0&0} [/mm]
[mm] Ax=\pmat{1x-1x=0 \\0}
[/mm]
Dann kommt auch [mm] Ax=\pmat{0 \\0}
[/mm]
heraus und A ist keine Nullmatrix.
Ist es nicht so, wenn ich ein Beispiel dagegen finde, stimmt die Aussage nicht mehr ?
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Susanne,
weißt du denn wie man Matrizen multipliziert?
Ein Vektor ist einfach eine Matrix mit einer Spalte (auch Spaltenvektor genannt),
wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird. (Es gibt auch Zeilenvektoren)
> Hallo Will,
> vielen Dank für Deine Hilfe !
>
> > führe den Beweis besser umgekehrt:
> >
> > Sei A nicht die Nullmatrix. Dann gibt es eine Spalte in A
> > die nicht gleich Null ist....
> >
> > jetzt bist du dran....
> >
> > gib einen Vektor x an, so daß [mm]Ax \neq 0[/mm] ist.
>
> [mm]A=\pmat{1 & 0 \\0&0}[/mm]
In diesem Fall würde es zB der Vektor [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] tun.
> Dann ist
> [mm]Ax=\pmat{1x \\0}[/mm]
??????????
Setze $x := [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n}$
[/mm]
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 30.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Will,
nochmals danke für deine Hilfe !
> > Dann ist
> > [mm]Ax=\pmat{1x \\0}[/mm]
[mm] Ax=\pmat{x_1\\0}
[/mm]
> Setze [mm]x := \vektor{x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n}[/mm]
Und jetzt ? Ich steh irgendwie auf dem Schlauch ?
Danke, Susanne.
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> Hallo Will,
> nochmals danke für deine Hilfe !
>
> > > Dann ist
> > > [mm]Ax=\pmat{1x \\0}[/mm]
>
> [mm]Ax=\pmat{x_1\\0}[/mm]
>
> > Setze [mm]x := \vektor{x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n}[/mm]
>
> Und jetzt ? Ich steh irgendwie auf dem Schlauch ?
Ist in diesem Spaltenvektor $x$ nur [mm] $x_i=1$ [/mm] und sind alle seine anderen Koordinaten gleich $0$, so ist das Matrixprodukt $A x$ nichts anderes als der $i$-te Spaltenvektor von $A$. Daher kann man also, indem man in dieser Überlegung $i$ von $1$ bis $n$ laufen lässt, zeigen, dass alle Spaltenvektoren von $A$ Nullvektoren $0$ sein müssen - und daher ist $A$ selbst die Nullmatrix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Di 30.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Somebody
vielen Dank für Deine Hilfe !!
Ich glaube, jetzt ist der Groschen gefallen.
Diese Aussage gilt nur, wenn [mm] x_1 [/mm] ungleich [mm] x_2 [/mm] usw. sein kann.
Wenn x ein festes x wäre, müsste A nicht die Nullmatrix sein.
Stimmt das ?
LG, Susanne.
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> Hallo Somebody
> vielen Dank für Deine Hilfe !!
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> Ich glaube, jetzt ist der Groschen gefallen.
> Diese Aussage gilt nur, wenn [mm]x_1[/mm] ungleich [mm]x_2[/mm] usw. sein
> kann.
Die Koordinaten des Vektors $x$ waren in der zu beweisenden Aussage in keiner Weise eingeschränkt.
> Wenn x ein festes x wäre, müsste A nicht die Nullmatrix
> sein.
Nein, in diesem Falle gewiss nicht. Es ist ganz zentral für die Behauptung, dass $x$ ein beliebiger Vektor sein darf.
Die in der obigen Beweisskizze verwendeten $n$ speziellen Vektoren, bei denen alle Koordinaten ausser der $i$-ten gleich $0$, die $i$-te aber gleich $1$ sind (kurz: für deren Koordinanten [mm] $x_k=\delta_{ki}$ [/mm] gilt), genügen offenbar schon, um die Behauptung $A=0$ zu beweisen.
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> Stimmt das ?
Um, .., ja, ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Di 30.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Vielen vielen Dank !
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