Beweis für Isomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:46 Mo 21.11.2016 | | Autor: | Joseph95 |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe und seien [mm] p_1, \ldots, p_r [/mm] die Primteiler von n := |G| > 1. Angenommen für alle i [mm] \in [/mm] [r] existiert genau eine [mm] p_i [/mm] -Sylow-Untergruppe [mm] G_i [/mm] von G. Beweise, dass die Abbildung
[mm] \phi: G_1 \times \cdots \times G_r \to [/mm] G
[mm] (g_1, \ldots, g_r) \mapsto g_1 \cdots g_r
[/mm]
ein Isomorphismus ist. |
Hey Leute,
ich habe die oben genannte Aufgabe und will zeigen, dass dies ein Isomorphismus ist. Sprich dass die Abbildung Injektiv und Surjektiv ist, weiß leider jedoch nicht wie ich überhaupt eines davon zeigen kann. Normalerweise ist ja immer das Problem die Surjektivität, doch auch die Injektivität macht mir diesmal zu schaffen.
Hätte jemand vielleicht einen Tipp oder kann mir paar Schritte nennen, wie ich diese zeigen kann.
Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen,
Joseph95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mo 21.11.2016 | | Autor: | hippias |
Tip: Zeige zuerst, dass $xy= yx$ für alle [mm] $x\in G_{i}$ [/mm] und [mm] $y\in G_{j}$ [/mm] falls [mm] $i\neq [/mm] j$. Damit lässt sich alles nötige leichter zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mo 21.11.2016 | | Autor: | Joseph95 |
Also ich soll zeigen dass die Gruppe abelsch ist, oder? Wie mache ich das denn jetzt genau? Ich habe bei dieser Aufgabe komplett den Faden irgendwie verloren.. :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mo 21.11.2016 | | Autor: | hippias |
Nein, dass die Gruppe abelsch ist, habe ich nicht gesagt: lies genauer!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mo 21.11.2016 | | Autor: | Joseph95 |
Hmmmm und wie zeige ich dass xy = yx für alle x [mm] \in G_i [/mm] und y [mm] \in G_j [/mm] mit j [mm] \not= [/mm] i ?
Irgendwie versteh ich nciht wieso mich das weiter bringen soll :S
Vg
Joseph95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Mo 21.11.2016 | | Autor: | hippias |
> Hmmmm und wie zeige ich dass xy = yx für alle x [mm]\in G_i[/mm]
> und y [mm]\in G_j[/mm] mit j [mm]\not=[/mm] i ?
Z.B. mit dem Satz von Sylow.
> Irgendwie versteh ich nciht wieso mich das weiter bringen
> soll :S
Damit kannst Du z.B. leicht zeigen, dass die Abbildung ein Homomorphismus ist. Nimm doch mal an die Behauptung sei wahr und versuche damit zu zeigen, dass [mm] $\phi$ [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es gibt natürlich andere Beweisideen, aber für "keine Ahnung" und "verstehe ich nicht" gibt's nur Null Punkte - und ich werde Dir nicht zu Punkten verhelfen, die Du nicht verdient hast.
>
> Vg
> Joseph95
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