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Beweis für Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:48 So 11.04.2021
Autor: HJKweseleit

Aufgabe
Für die Wahrscheinlichkeit p [mm] \in [/mm] ]0|1[ und n [mm] \in \IN [/mm] gilt:

[mm] p^n \summe_{i=0}^{n-1}q^i\vektor{n-1+i \\ i}+q^n \summe_{i=0}^{n-1}p^i\vektor{n-1+i \\ i}=1, [/mm] wobei q=1-p ist.

Ich suche einen algebraischen Beweis für die obige Behauptung. Beim Versuch mit vollst. Induktion gelingen mir nur Einzelschritte, der Induktionsschritt aber nicht. Auch Multiplikationen mit (p+q)=1 führen nicht weiter.

Entstanden ist das Problem auf folgende Weise:
Eine gezinkte Münze hat das Ergebnis Wappen mit der Wahrscheinlichkeit p und Zahl mit der Wahrscheinlichkeit q=1-p. A bekommt einen Punkt, wenn Wappen fällt, B, wenn Zahl fällt. Es gewinnt derjenige das Spiel, der als erstes n Punkte erzielt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass A bzw. B das Spiel gewinnt?

Man erhält dann für A die Wahrscheinlichkeit [mm] p^n \summe_{i=0}^{n-1}q^i\vektor{n-1+i \\ i} [/mm] und für B (schon aus Symmetriegründen) die Wahrscheinlichkeit [mm] q^n \summe_{i=0}^{n-1}p^i\vektor{n-1+i \\ i}. [/mm] Beides zusammen muss 1 ergeben, was sich leicht an Beispielen verifizieren lässt. Der algebraische Beweis dafür fehlt mir.


        
Bezug
Beweis für Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Di 13.04.2021
Autor: luis52

Moin, schau mal []hier.

Bezug
                
Bezug
Beweis für Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Di 13.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hallo luis,

das scheint nur die historische Zusammenfassung zu sein, wie oft die Formel "entdeckt" wurde.
Ein Beweis findet sich []hier

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Beweis für Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:33 Di 13.04.2021
Autor: luis52


>
>  Ein Beweis findet sich
> []hier
>  
> Gruß,
>  Gono

Danke, Gono. Eine faszinierende Gleichung, wie ich finde.

vg Luis


Bezug
                                
Bezug
Beweis für Formel: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:43 Mi 14.04.2021
Autor: HJKweseleit

Hallo Luis und Gono,

ja Teufelaberauch, wenn ich gewusst hätte, wie einfach der Beweis ist - nur ein paar Seiten ... wieso bin ich denn bloß nicht selbst drauf gekommen??? Man lässt halt im Alter etwas nach. 😜

Vielen Dank für Eure Mühe. Hat mir sehr geholfen.

Bezug
                                        
Bezug
Beweis für Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:29 Mi 14.04.2021
Autor: luis52

Ja, das ist wie bei Karl Valentin in der Apotheke, als ihm der Name des zu besorgenden Rezepts nicht einfaellt. Als ihm die Apothekerin mit "Isopropyl-profimil-barbitursaures-phenyl-dementhyl-amino-phyrazolon" auf die Spruenge hilft, ruft er nach dreimaligem Wiederholen erleichtert aus: "Jo, das isses! So einfach! Und man kommt nicht drauf."

Bezug
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