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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mi 28.02.2007 | | Autor: | SirMad |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b} \frac{1}{1+x^2}=tan^-1 [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Ausdruck wird in so ziemlich jeden Mathebuch gefunden bzw. dargestellt. Mein Problem ist, dass ich nicht weis wie man diesen herleiten soll. Ich habe Substitution mit cos(x) probiert, bin aber nicht weit gekommen.
Insbesondere ist mir aufgefallen, wenn man tan^-1 ableitet kommt man (bzw. ich zumindest, vielleicht ist es ja falsch) auf -1 [mm] \frac{1}{sin^2x}.
[/mm]
Daher die Fragen:
1. Mit was muss ich substituieren um die Lösoung zu finden.
2. Ist die Ableitung falsch? Wenn nicht, wie komme ich von dem oben beschriebenen Ausdruck auf [mm] \frac{1}{1+x^2}??
[/mm]
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mi 28.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
mit [mm] tan^{-1} [/mm] ist der arctan, also die Umkehrfunktion des tangens gemeint.
Mithilfe der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen läßt sich zeigen ,daß [mm] tan^{-1}'(x) =\bruch{1}{1+x^2} [/mm] ist.
MfG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mi 28.02.2007 | | Autor: | SirMad |
Hmpf *schlägt sich an die Stirn* Okay, schonmal danke für den Hinweis bzgl. der Ableitung. Mit der Umkehrfunktion geht das super :)
Mich würde allerdings wirklich noch interessieren, wie man das Integral formal lösen kann.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Do 01.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man nicht weiss, dass (sinx)'=cosx ist gibt es keine Moeglichkeit cosx zu integrieren (ausser numerisch)
Wir haben einen gewissen Vorrat an Funktionen, die wir "kennen", bzw. die der Taschenrechner und Computer ausrechnen kann. Da muessen wir nicht numerisch integrieren.
d.h. du kannst sowas mit "Grundfunktionen nie herleiten.
Wie beweist du, dass [mm] x^n [/mm] integriert [mm] 1/(n+1)*x^{n=1} [/mm] ist? doch auch nur, weil du die Differentiationsregeln fuer Potenzen kennst.
Gruss leduart
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