Beweis einer Äquivalenz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, komme bei diesem Beweis irgendwie nicht weiter.
Aufgabe:
Sei V ein endl. dim. VR über einem Körper K, und sei f: V [mm] \to [/mm] V eine K-lineare Abbildung. Man zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind:
1) bild(f)=ker(f)
2) f [mm] \circ [/mm] f ist die Nullabbildung V [mm] \to [/mm] V, v [mm] \mapsto \vec{0} [/mm] und dim V=2*dimKer(f).
Kann mir vielleicht jemand helfen? hat das vielleicht was mit so einer Eigenschaft zu tun [mm] f^2=f \circ [/mm] f=0. ja ok diese Eigenschaft soll ich ja gerade unter punkt zwei zeigen.
danke für hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:43 Di 08.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
> Hallo, komme bei diesem Beweis irgendwie nicht weiter.
>
> Aufgabe:
>
> Sei V ein endl. dim. VR über einem Körper K, und sei f: V
> [mm]\to[/mm] V eine K-lineare Abbildung. Man zeige, dass die
> folgenden Eigenschaften äquivalent sind:
>
> 1) bild(f)=ker(f)
>
> 2) f [mm]\circ[/mm] f ist die Nullabbildung V [mm]\to[/mm] V, v [mm]\mapsto \vec{0}[/mm]
> und dim V=2*dimKer(f).
>
>
> Kann mir vielleicht jemand helfen? hat das vielleicht was
> mit so einer Eigenschaft zu tun [mm]f^2=f \circ[/mm] f=0. ja ok
> diese Eigenschaft soll ich ja gerade unter punkt zwei
> zeigen.
nein, irgendwie ist Dir wohl die Aufgabenstellung nicht klar. Wenn Du zeigen sollst, dass für Aussagen $A$, $B$ gilt, dass $A [mm] \gdw [/mm] B$, dann hast Du zwei Richtungen zu zeigen:
1.) "$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$", d.h., vorausgesetzt wird die Aussage $A$ und zu zeigen ist dann, dass auch $B$ gelten muss.
2.) "$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$" (bzw. $A [mm] \Leftarrow [/mm] B$), d.h., vorausgesetzt wird die Aussage $B$ und zu zeigen ist nun, dass dann auch $A$ gelten muss.
Bei Dir sind die Aussagen
$A$: [mm] "$\mbox{bild}(f)=\mbox{ker}(f)$"
[/mm]
$B$: "$f [mm] \circ [/mm] f$ ist die Nullabbildung $V [mm] \to [/mm] V$, $v [mm] \mapsto \vec{0}$ [/mm] und es gilt [mm] $\dim V=2*\dim\mbox{Ker}(f)$"
[/mm]
(Die Voraussetzung an $V$, $K$ etc. sind "universeller" Art im folgenden Sinne: Sie gelten bei $A$ und $B$ immer zusätzlich.)
Nun hast Du zunächst zu zeigen:
1) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 2) bzw. mit meiner Definition der Aussagen: $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$:
Hier gilt nach 1) dann [mm] $\mbox{bild}(f)=\mbox{ker}(f)$, [/mm] d.h.
[mm] $(\*)$ $\mbox{bild}(f)=\{f(v): v \in V\}=\{v \in V: f(v)=\vec{0}\}=\mbox{ker}(f)$. [/mm]
Zu zeigen ist zunächst, dass für alle $v [mm] \in [/mm] V$ gilt, dass $(f [mm] \circ f)(v)=\vec{0}$.
[/mm]
Ist $v [mm] \in [/mm] V$ so ist $w:=f(v) [mm] \in \mbox{bild}(f)$. [/mm] Daher gilt wegen [mm] $(\*)$, [/mm] dass $w [mm] \in \mbox{ker}(f)$, [/mm] also [mm] $f(w)=\vec{0}$. [/mm] Es folgt:
[mm] $(f\circ f)(v)=f(f(v))=f(w)=\vec{0}$. [/mm] Da $v [mm] \in [/mm] V$ beliebig war, ist $f [mm] \circ [/mm] f$ die Nullabbildung.
Zu der zweiten Aussage bei 2):
Zu zeigen ist noch:
[mm] $\dim(V)=2*\dim \mbox{Ker(f)}$
[/mm]
Dazu benutze die Dimensionsformel
[mm] $\dim(V)=\dim \mbox{ker}(f)+\dim \mbox{bild}(f)$ [/mm] und beachte, dass nach Voraussetzung 1) [mm] $\mbox{ker}(f)=\mbox{bild}(f)$ [/mm] gilt.
Damit ist die Hälfte der Arbeit schon erledigt 
Ich überlasse es Dir erstmal, nu zu versuchen, die Richtung
2) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 1) zu beweisen, also, dass
unter der Gültigkeit der Voraussetzung:
$f [mm] \circ [/mm] f$ ist die Nullabbildung $V [mm] \to [/mm] V$, $v [mm] \mapsto \vec{0}$ [/mm] und es gilt [mm] $\dim V=2*\dim\mbox{Ker}(f)$
[/mm]
dann folgt, dass [mm] $\mbox{bild}(f)=\mbox{ker}(f)$ [/mm] (d.h. Du hast dann noch zu zeigen, dass sowohl [mm] $\mbox{bild}(f) \subset \mbox{ker}(f)$ [/mm] als auch [mm] $\mbox{bild}(f) \supset \mbox{ker}(f)$ [/mm] gilt).
Gruß,
Marcel
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Hi vielen dank erstmal.
also ich habe die andere Richtung versucht, finde sie aber selber sehr schwammig. also z.z.: $ [mm] \mbox{bild}(f) \subset \mbox{ker}(f) [/mm] $ als auch $ [mm] \mbox{bild}(f) \supset \mbox{ker}(f) [/mm] $
so ich habe mir gedacht. sei v [mm] \in [/mm] V beliebig und w:=f(v) [mm] \in [/mm] Bild f, dann gilt.
w=f(v)=f(f(v))=(f [mm] \circ [/mm] f)(v)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Bild f [mm] \subset [/mm] Ker f , analog folgt für Ker f [mm] \subset [/mm] Ker Im f:
sei v [mm] \in [/mm] V und w [mm] \in [/mm] Im f und es gelte für den Kern f: f(v)=0*w, da aber f(f(v))=(f [mm] \circ [/mm] f)(v)=0*w=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Ker f [mm] \subset [/mm] Im f, da für Im f auch gilt f(v)=0. damit ist Ker f = Bild f.
und, geht das so?
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 08.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
> Hi vielen dank erstmal.
>
> also ich habe die andere Richtung versucht, finde sie aber
> selber sehr schwammig. also z.z.: [mm]\mbox{bild}(f) \subset \mbox{ker}(f)[/mm]
> als auch [mm]\mbox{bild}(f) \supset \mbox{ker}(f)[/mm]
>
> so ich habe mir gedacht. sei v [mm]\in[/mm] V beliebig und w:=f(v)
> [mm]\in[/mm] Bild f, dann gilt.
das ist "logisch" nicht korrekt. Du willst ja zeigen, dass jedes $w [mm] \in \mbox{Bild}(f)$ [/mm] erfüllt, dass $w [mm] \in \mbox{ker}(f)$. [/mm] D.h.:
Du nimmst nun ein beliebiges $w [mm] \in \mbox{Bild}(f)$ [/mm] her.
[mm] $(\*)$ [/mm] Per Definitionem von [mm] $\mbox{Bild}(f)$ [/mm] existiert dann zu diesem $w$ (mindestens) ein $v [mm] \in [/mm] V$ mit $w=f(v)$.
Nun ist zu zeigen, dass $w [mm] \in \mbox{ker}(f)$ [/mm] gilt, also zu zeigen ist:
[mm] $f(w)=\vec{0}$. [/mm] Dazu schreibe halt $w=f(v)$ (geht, wegen [mm] $(\*)$) [/mm] und benutze, dass $f(f(v))=(f [mm] \circ [/mm] f)(v)$ gilt. Und $(f [mm] \circ f)(v)=\vec{0}$ [/mm] gilt nach 2).
> Ker f , analog folgt für Ker f [mm]\subset[/mm] Ker Im f:
Was ist denn der Kern des Bildes von $f$? da meintest Du rechterhand sicherlich nur [mm] $\mbox{Im}(f)$ [/mm] bzw. [mm] $\mbox{Bild}(f)$.
[/mm]
> sei v [mm]\in[/mm] V und w [mm]\in[/mm] Im f und es gelte für den Kern f:
> f(v)=0*w, da aber f(f(v))=(f [mm]\circ[/mm] f)(v)=0*w=0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> Ker f [mm]\subset[/mm] Im f, da für Im f auch gilt f(v)=0. damit ist
> Ker f = Bild f.
Also hier verstehe ich nun wirklich gar nicht mehr, was Du da machst. Wir wollen [mm] $\mbox{ker}(f) \subset \mbox{Bild}(f)$ [/mm] zeigen, d.h.:
Ist $v [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $f(v)=\vec{0}$ [/mm] (also $v [mm] \in \mbox{ker}(f)$), [/mm] so haben wir zu zeigen: Es existiert ein $w [mm] \in [/mm] V$ mit $f(w)=v$. (Bzw. äquivalent dazu: [mm] $f^{-1}(\{v\}) \not= \emptyset$.)
[/mm]
Probiere das mal:
Sei also $v [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $f(v)=\vec{0}$.... [/mm]
(Hier musst Du halt mal gucken, ob Du eine Idee hast, wie man weitermachen könnte. Evtl.: Annahme: Es gibt kein $w [mm] \in [/mm] V$ mit $f(w)=v$...)
Übrigens kann es auch sein, dass man mit 2) die Gleichheit der Mengen aus 1) doch direkt einsehen kann, aber das habe ich noch nicht zu Ende gedacht. Folgendes kannst Du ja auch mal versuchen, zu Ende zu denken:
Nach 2) gilt [mm] $\dim(V)=2*\dim \mbox{ker}(f)$ [/mm] sowie wegen des Dimensionssatzes angewendet auf die $K$-lineare Abbildung $f$ ist
[mm] $\dim(V)=\dim \mbox{ker}(f)+\dim \mbox{Bild}(f)$, [/mm] d.h.
[mm] $\dim \mbox{ker}(f)=\dim \mbox{Bild}(f)=\frac{1}{2}\dim(V)$.
[/mm]
Nun sind [mm] $\mbox{ker}(f)$ [/mm] und [mm] $\mbox{Bild}(f)$ [/mm] hier beides $K$-lineare Unterräume von $V$...
Naja, wie gesagt:
Die Teilmengenbeziehung [mm] $\mbox{Bild}(f) \subset \mbox{ker}(f)$ [/mm] ist trivial nachzurechnen, wenn 2) gilt. Die Teilmengenbeziehung [mm] $\mbox{ker}(f) \subset \mbox{Bild}(f)$ [/mm] ist mir so spontan nicht ganz klar. Aber vll. kann man auch mittels Anwendung von Dimensionssätzen für $K$-lineare Abbildungen und/oder Unterräumen die Gleichheit der Mengen aus 1) einsehen, indem man z.B. damit nachweist, dass
[mm] $\dim (\mbox{ker}(f) \cap \mbox{bild}(f))=\dim \mbox{ker}(f)$ $\left(=\dim \mbox{bild}(f)=\frac{1}{2}\dim(V)\right)$
[/mm]
Das sollte auch die Mengengleichheit aus 1) beweisen. (Es gilt z.B. folgender Satz:
Sei $V$ ein endlich dimensionaler $K$-Vektorraum. Ist $W [mm] \subset [/mm] V$ ein Unterraum von $V$, so gilt [mm] $\dim(W) \le \dim(V)$ [/mm] und die Gleichheit dieser Dimensionen tritt genau dann ein, wenn $V=W$.
Oben:
Beachte dann, dass [mm] $\mbox{ker}(f)$ [/mm] und [mm] $\mbox{Bild}(f)$ [/mm] endlich dimensionale Unterräume des endl. dim. Vektorraums $V$ sind und dass [mm] $\mbox{ker}(f) \cap \mbox{Bild}(f)$ [/mm] ein (endl. dim.) Unterraum sowohl von [mm] $\mbox{ker}(f)$ [/mm] als auch von [mm] $\mbox{Bild}(f)$ [/mm] ist. D.h., die Gleichheit [mm] $\dim (\mbox{ker}(f) \cap \mbox{Bild}(f))=\dim(\mbox{ker}(f))$ [/mm] hätte hier zur Folge, dass [mm] $\mbox{ker}(f) \cap \mbox{Bild}(f)=\mbox{ker}(f)$ [/mm] usw.)
Gruß,
Marcel
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Hi.
ich will es mal nochmal probieren. also deine ersten erklärungen haben ich noch verstanden, aber zum schluss wurde es bisschen schwierig für mich. also ich versuchs einfach mal. es gilt immer z.z., dass [mm] \mbox{bild}(f) \subset \mbox{ker}(f) [/mm] als auch [mm] \mbox{bild}(f) \supset \mbox{ker}(f). [/mm] so.
wir haben ja [mm] f^2=f \circ [/mm] f=0. Ist w [mm] \in [/mm] Imf, etwa w=f(v), so gilt ja: [mm] f(w)=f^2(v)=0. [/mm] also ist w [mm] \in [/mm] Ker f, d.h. im f [mm] \subseteq [/mm] ker f. Müsste ja so reichen. Weiter sei nun im f [mm] \subseteq [/mm] ker f:
Ist v [mm] \in [/mm] V, dann [mm] f^2(v)=f(f(v))=0, [/mm] da f(v) [mm] \in [/mm] ker f, also ist [mm] f^2=0. [/mm] Mit der anderen Seite komme ich auch noch nicht zurecht, also [mm] \mbox{bild}(f) \supset \mbox{ker}(f).
[/mm]
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mi 09.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Ist v [mm]\in[/mm] V, dann [mm]f^2(v)=f(f(v))=0,[/mm] da f(v) [mm]\in[/mm] ker f, also
> ist [mm]f^2=0.[/mm] Mit der anderen Seite komme ich auch noch nicht
> zurecht, also [mm]\mbox{bild}(f) \supset \mbox{ker}(f).[/mm]
Nicht, das es schonmal erwähnt wurde: Dimensionsformel [m]dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))[/m] und dann Gleichheit mit einem Dimensionsargument begründen. Ich gebe einem direkten Weg keine Chance - wenn keine Bedingung an die Dimenson gestellt wird, wären alle Diemnsionen kleiner gleich dim(V) möglich.
SEcki
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