www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Beweis einer Untergruppe
Beweis einer Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis einer Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 So 16.11.2008
Autor: Yuuichi-san

Aufgabe
Aufgabe 2. Sei G eine Gruppe, H [mm] \subseteq [/mm] G eine endliche Teilmenge mit
(a) e [mm] \in [/mm] H, und
(b) xy [mm] \in [/mm] H für alle x, y [mm] \in [/mm] H.
Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe von G ist.
Hinweis: Betrachten Sie für x [mm] \in [/mm] H die vermöge (durch) [mm] r_x(y) [/mm] = yx definierte Abbildung.

Um zu beweisen das H ein Untergruppe ist, muss ich doch die 4 Grundregeln beweisen:
[mm] G_0 [/mm] : Abgeschlossenheit bzgl. der Verknüpfung   (? verstehe nicht wie ich das beweisen soll, bzw was das genau bedeutet!)
[mm] G_1 [/mm] :Assoziativgesetz (wird geerbt')
[mm] G_2 [/mm] : Ex. eines neutralen Element (gegeben durch (a))
[mm] G_3 [/mm] : Ex. der inversen Element: [mm] x^{-1} [/mm] * x = e   (naja da G eine gruppe ist, gilt [mm] x^{-1} \in [/mm] G somit auch in H)

Ist das soweit richtig?  Und wenn ja, wie soll ich [mm] G_0 [/mm] beweisen bzw. was soll ich mit der Angabe von [mm] r_x [/mm] machen?

Oder ist das eine Trick Aufgabe. Da es sich ja um eine endlich Teilmenge handelt und [mm] r_x [/mm] (y) = yx ist. Die Untergruppe nur aus e besteht?
mfg

Yuu

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Beweis einer Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Mo 17.11.2008
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Yuu,

dein Beweis ist schon teilweise richtig. :-) Du hast erkannt, dass die Information "H ist eine endliche Menge" wichtig ist.

Leider kannst du aus den angegebenen Informationen nicht direkt folgern, dass für jedes [mm] $x\in [/mm] H$ auch das Inverse [mm] $x^{-1}\in [/mm] H$.

(Abgeschlossenheit einer Menge $M$ bezüglich einer Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] bedeutet nur, dass für alle [mm] $m_1,m_2\in [/mm] M$ auch das Objekt [mm] $(m_1\circ m_2)\in [/mm] M$. Zum Beispiel sind die ganzen Zahlen [mm] $\IZ$ [/mm] abgeschlossen bezüglich Addition, Subtraktion und Multiplikation, aber nicht bezüglich Division.)

Aber du kannst dir überlegen, was passiert, wenn man für ein festes $x$ die Abbildung [mm] $r_x(y)$ [/mm] immer wieder auf die Elemente [mm] $y\in [/mm] H$ anwendet, d.h. wenn man die Folge $y$, [mm] $r_x(y)$, $r_x(r_x(y))$, $r_x(r_x(r_x(y)))$, $\dots$ [/mm] untersucht. Hier spielt die Endlichkeit von $H$ eine Rolle um zu zeigen, dass das Inverse eines jeden $x$ nicht nur irgendwo in $G$, sondern sogar in $H$ liegt.

Ich hoffe, ich konnte hilfreiche Hinweise geben
Hugo

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]