Beweis einer Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Do 05.10.2006 | | Autor: | Vertex |
| Aufgabe | Für welche n [mm] \in \IN [/mm] ist
[mm] n^{3}>3n^{2}+n+1 [/mm] |
Hallo zusammen,
obige Aufgabe gilt es zu lösen.
Durch ein wenig probieren, habe ich herausgefundenh das die Ungleichung für [mm] n\ge4 [/mm] gilt.
Da probieren ja nun nicht ausreicht, habe ich folgenden Beweis mittels vollständiger Induktion geführt.
Induktionsanfang mit n=4
[mm] 4^{3}>3*4^{2}+4+1
[/mm]
64>3*16+5
64>48+5
64>53 [mm] \Rightarrow [/mm] wahre Aussage
Induktionsschritt von n=4 auf n+1
Es gelte die Induktionsannahme: [mm] n^{3}>3n^{2}+n+1 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und n [mm] \ge [/mm] 4
Es muss gelten:
[mm] (n+1)^{3}>3*(n+1)^{2}+(n+1)+1
[/mm]
Durch ausmultiplizieren und umstellen der Ungleichgung kommen wir nach ein paar Schritten auf:
[mm] n^{3}>3n^{2}+n+1 [/mm] - [mm] 3(n^{2}-n-1)
[/mm]
Dort steht nun im Prinzip unsere Induktionsannahme minus "etwas" auf der rechten Seite.
Ich definiere jetzt:
a:= [mm] n^{3}
[/mm]
b:= [mm] 3n^{2}+n+1
[/mm]
c:= [mm] 3(n^{2}-n-1)
[/mm]
Laut unserer Induktionsannahme gilt:
a>b
Ferner gilt für alle n [mm] \in \IN [/mm] und n [mm] \ge [/mm] 4
c>0
Daraus folgt:
b-c < b < a
Damit wäre doch bewiesen das die Ungleichung für [mm] n\ge4 [/mm] gilt.
Ist das bis hier hin so korrekt und kann ich einfach behaupten c>o ohne es zu beweisen?
Darüber hinaus muss ich um die Aufgabe komplett zu lösen nun auch noch zeigen das die Ungleichung für alle n<4 falsch ist und genau da komme ich nicht weiter.
Wie kann ich das machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Do 05.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Für welche n [mm]\in \IN[/mm] ist
>
> [mm]n^{3}>3n^{2}+n+1[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> obige Aufgabe gilt es zu lösen.
>
> Durch ein wenig probieren, habe ich herausgefundenh das die
> Ungleichung für [mm]n\ge4[/mm] gilt.
> Da probieren ja nun nicht ausreicht, habe ich folgenden
> Beweis mittels vollständiger Induktion geführt.
>
> Induktionsanfang mit n=4
>
> [mm]4^{3}>3*4^{2}+4+1[/mm]
> 64>3*16+5
> 64>48+5
> 64>53 [mm]\Rightarrow[/mm] wahre Aussage
>
> Induktionsschritt von n=4 auf n+1
> Es gelte die Induktionsannahme: [mm]n^{3}>3n^{2}+n+1[/mm] für alle
> n [mm]\in \IN[/mm] und n [mm]\ge[/mm] 4
> Es muss gelten:
> [mm](n+1)^{3}>3*(n+1)^{2}+(n+1)+1[/mm]
>
> Durch ausmultiplizieren und umstellen der Ungleichgung
> kommen wir nach ein paar Schritten auf:
>
> [mm]n^{3}>3n^{2}+n+1[/mm] - [mm]3(n^{2}-n-1)[/mm]
>
> Dort steht nun im Prinzip unsere Induktionsannahme minus
> "etwas" auf der rechten Seite.
> Ich definiere jetzt:
>
> a:= [mm]n^{3}[/mm]
> b:= [mm]3n^{2}+n+1[/mm]
> c:= [mm]3(n^{2}-n-1)[/mm]
>
> Laut unserer Induktionsannahme gilt:
>
> a>b
>
> Ferner gilt für alle n [mm]\in \IN[/mm] und n [mm]\ge[/mm] 4
>
> c>0
>
> Daraus folgt:
> b-c < b < a
> Damit wäre doch bewiesen das die Ungleichung für [mm]n\ge4[/mm]
> gilt.
>
> Ist das bis hier hin so korrekt?
Yep.
> und kann ich einfach behaupten c>o ohne es zu beweisen?
Nein, es sei denn, es ist schon irgendwo im Skript oder bei einer Übungsaufgabe bewiesen worden, dass 0<n²-n-1 für alle [mm] n\in\IN|n\ge4.
[/mm]
>
> Darüber hinaus muss ich um die Aufgabe komplett zu lösen
> nun auch noch zeigen das die Ungleichung für alle n<4
> falsch ist und genau da komme ich nicht weiter.
Nun [mm] n\in\IN, [/mm] war Voraussetzung. Und jetzt suchst du alle n<4. Wieviele gibt es denn davon? Und könnte man das nicht stumpf ausrechnen?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Do 05.10.2006 | | Autor: | Vertex |
Danke dir fürs Durchsehen meiner Lösung.
Der Beweis von c>0 ist ja nun auch recht schnell gemacht.
Das bei n [mm] \in \IN [/mm] und n<4 nicht viel übrig bleibt ist klar. Ich dachte mir nur das ein allgemeiner Beweis mehr hermacht als "stumpf ausrechnen".
Final ist bewiesen was zu beweisen war und damit soll sich der Prof. zufrieden geben :)
Vielen Dank nochmal,
Gruss, Vertex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Do 05.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Das bei n [mm]\in \IN[/mm] und n<4 nicht viel übrig bleibt ist
> klar. Ich dachte mir nur das ein allgemeiner Beweis mehr
> hermacht als "stumpf ausrechnen".
> Final ist bewiesen was zu beweisen war und damit soll sich
> der Prof. zufrieden geben :)
>
Ich möchte dazu malunseren Prof zitieren:
"Ausrechnen ist der Weg zur Wahrheit"
> Vielen Dank nochmal,
> Gruss, Vertex
Bitte
Marius
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