Beweis einer Aussage < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen 0 ≤ k < n, für die [mm] k^n [/mm] = [mm] n^k [/mm] gilt. Beweisen Sie Ihre Antwort. |
Hallo Leute,
Also nach verschieden Ausprobieren habe ich festgestellt, dass ab [mm] n\ge3
[/mm]
die linke Seite des Ausdrucks [mm] k^n [/mm] = [mm] n^k [/mm] immer überwiegt.
3*3*3*3=4*4*4
64=81
So ich hab nun 2 Ideen:
Nr.1 Wenn als wahr angenommen werden kann, dass die Zahlen [mm] n^k [/mm] und [mm] k^n [/mm] äquivalent sind dann müsste es ein [mm] \exists [/mm] t [mm] \in [/mm] IN , dass sowohl [mm] n^k [/mm] als auch [mm] k^n [/mm] teilt.
[mm] t|n^k [/mm] und [mm] t|k^n [/mm] ....Ich jetzt t:={k,n}
Wenn ich den Wiederspruch aufzeigen würde das zwar [mm] n|n^k [/mm] teilt aber [mm] n|k^n [/mm] nicht teilt. Oder [mm] k|n^k [/mm] nicht teilt aber [mm] k|k^n [/mm] Dann wäre es doch schon bewiesen oder?
Mein 2ter Gedanke wäre. Laut Bedingung [mm] 0\le [/mm] k<n
Dann ist k immer irgendein Vorgänger z.B. (n-1)
also müsste gelten [mm] (n-1)^n=n^{n-1}
[/mm]
Offensichtlich stimmt diese Gleichung erst ab [mm] n\ge [/mm] 3
Liebe Grüße und einen schönen Abend noch!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen 0 ≤ k < n, für
> die [mm]k^n[/mm] = [mm]n^k[/mm] gilt. Beweisen Sie Ihre Antwort.
> Hallo Leute,
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> Also nach verschieden Ausprobieren habe ich festgestellt,
> dass ab [mm]n\ge3[/mm]
> die linke Seite des Ausdrucks [mm]k^n[/mm] = [mm]n^k[/mm] immer
> überwiegt.
Fuer $k = 1$ offensichtlich nicht: dann steht links $1$ und rechts $n$.
> 3*3*3*3=4*4*4
> 64=81
>
> So ich hab nun 2 Ideen:
>
> Nr.1 Wenn als wahr angenommen werden kann, dass die Zahlen
> [mm]n^k[/mm] und [mm]k^n[/mm] äquivalent sind dann müsste es ein [mm]\exists[/mm] t
> [mm]\in[/mm] IN , dass sowohl [mm]n^k[/mm] als auch [mm]k^n[/mm] teilt.
Damit siehst du: $k$ und $n$ muessen die gleichen Primfaktoren haben.
> [mm]t|n^k[/mm] und [mm]t|k^n[/mm] ....Ich jetzt t:={k,n}
Was soll [mm] $\{k, n\}$ [/mm] heissen/sein?
> Wenn ich den Wiederspruch aufzeigen würde das zwar [mm]n|n^k[/mm]
> teilt aber [mm]n|k^n[/mm] nicht teilt. Oder [mm]k|n^k[/mm] nicht teilt aber
> [mm]k|k^n[/mm] Dann wäre es doch schon bewiesen oder?
Dann waere was bewiesen?
> Mein 2ter Gedanke wäre. Laut Bedingung [mm]0\le[/mm] k<n
> Dann ist k immer irgendein Vorgänger z.B. (n-1)
> also müsste gelten [mm](n-1)^n=n^{n-1}[/mm]
Wie kommst du dadrauf?!?
Behandle doch erstmal den Fall, dass $k = 0$ ist. Dann mach mit $k > 0$ weiter.
Mach es doch mal anders. Schreibe $n = a n'$, $k = a k'$ mit $a = ggT(n, k)$; dann sind $n', k'$ teilerfremd und es gilt $0 < k' [mm] \le [/mm] n'$.
Aus [mm] $n^k [/mm] = [mm] k^n$ [/mm] kannst du nun [mm] $a^{n' - k'} (k')^{n'} [/mm] = [mm] (n')^{k'}$ [/mm] folgern (wie?), weswegen [mm] $(k')^{n'} [/mm] = 1$ sein muss. Aber daraus folgt $k' = 1$ (warum?), also hast du [mm] $a^{n' - 1} [/mm] = n'$. Welche Moeglichkeiten gibt es hier fuer $a$ und $n'$? (unterscheide zwischen $a = 1$ und $a > 1$).
LG Felix
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> Hallo!
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> > Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen 0 ≤ k < n, für
> > die [mm]k^n[/mm] = [mm]n^k[/mm] gilt. Beweisen Sie Ihre Antwort.
> > Hallo Leute,
> >
> > Also nach verschieden Ausprobieren habe ich festgestellt,
> > dass ab [mm]n\ge3[/mm]
> > die linke Seite des Ausdrucks [mm]k^n[/mm] = [mm]n^k[/mm] immer
> > überwiegt.
>
> Fuer [mm]k = 1[/mm] offensichtlich nicht: dann steht links [mm]1[/mm] und
> rechts [mm]n[/mm].
>
> > 3*3*3*3=4*4*4
> > 64=81
> >
> > So ich hab nun 2 Ideen:
> >
> > Nr.1 Wenn als wahr angenommen werden kann, dass die Zahlen
> > [mm]n^k[/mm] und [mm]k^n[/mm] äquivalent sind dann müsste es ein [mm]\exists[/mm] t
> > [mm]\in[/mm] IN , dass sowohl [mm]n^k[/mm] als auch [mm]k^n[/mm] teilt.
>
> Damit siehst du: [mm]k[/mm] und [mm]n[/mm] muessen die gleichen Primfaktoren
> haben.
Wir wissen es gibt keine Lösung für [mm] k^n=n^k, [/mm] aber wenn wir es annehmen würden, dass gelte [mm] k^n=n^k, [/mm] dann könnte man folgern, dass beide die selben Primfaktoren besitzen.
>
> > [mm]t|n^k[/mm] und [mm]t|k^n[/mm] ....Ich jetzt t:={k,n}
>
> Was soll [mm]\{k, n\}[/mm] heissen/sein?
>
> > Wenn ich den Wiederspruch aufzeigen würde das zwar [mm]n|n^k[/mm]
> > teilt aber [mm]n|k^n[/mm] nicht teilt. Oder [mm]k|n^k[/mm] nicht teilt aber
> > [mm]k|k^n[/mm] Dann wäre es doch schon bewiesen oder?
>
> Dann waere was bewiesen?
Ich denke daraus würde folgen => [mm] k^n\not=n^k
[/mm]
>
> > Mein 2ter Gedanke wäre. Laut Bedingung [mm]0\le[/mm] k<n
> > Dann ist k immer irgendein Vorgänger z.B. (n-1)
> > also müsste gelten [mm](n-1)^n=n^{n-1}[/mm]
>
> Wie kommst du dadrauf?!?
>
> Behandle doch erstmal den Fall, dass [mm]k = 0[/mm] ist. Dann mach
> mit [mm]k > 0[/mm] weiter.
>
> Mach es doch mal anders. Schreibe [mm]n = a n'[/mm], [mm]k = a k'[/mm] mit [mm]a = ggT(n, k)[/mm];
> dann sind [mm]n', k'[/mm] teilerfremd und es gilt [mm]0 < k' \le n'[/mm].
Ich würde es halbwegsverstehen, wenn man annimmt, [mm] n^k=k^n [/mm] => n=k und damit auf n = an', k = ak' aber dann wäre n' und k' nicht teilerfremd.
> Aus [mm]n^k = k^n[/mm] kannst du nun [mm]a^{n' - k'} (k')^{n'} = (n')^{k'}[/mm]
> folgern (wie?), weswegen [mm](k')^{n'} = 1[/mm] sein muss. Aber
> daraus folgt [mm]k' = 1[/mm] (warum?), also hast du [mm]a^{n' - 1} = n'[/mm].
> Welche Moeglichkeiten gibt es hier fuer [mm]a[/mm] und [mm]n'[/mm]?
> (unterscheide zwischen [mm]a = 1[/mm] und [mm]a > 1[/mm]).
>
> LG Felix
Ich probiere schon die ganze Zeit ein sinniges Bsp. zu finden um diese Aussagen zu verstehen aber irgendwas fällt nichts praktisches ein. Worauf basiert deine Beweisskizze?
Grüße Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:59 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> > > Nr.1 Wenn als wahr angenommen werden kann, dass die Zahlen
> > > [mm]n^k[/mm] und [mm]k^n[/mm] äquivalent sind dann müsste es ein [mm]\exists[/mm] t
> > > [mm]\in[/mm] IN , dass sowohl [mm]n^k[/mm] als auch [mm]k^n[/mm] teilt.
> >
> > Damit siehst du: [mm]k[/mm] und [mm]n[/mm] muessen die gleichen Primfaktoren
> > haben.
>
> Wir wissen es gibt keine Lösung für [mm]k^n=n^k,[/mm]
Wieso sollte es keine Loesung fuer [mm] $k^n [/mm] = [mm] n^k$ [/mm] geben?!?!? $k = n$ ist z.B. immer eine Loesung!
> aber wenn
> wir es annehmen würden, dass gelte [mm]k^n=n^k,[/mm] dann könnte
> man folgern, dass beide die selben Primfaktoren besitzen.
Ja.
> > > [mm]t|n^k[/mm] und [mm]t|k^n[/mm] ....Ich jetzt t:={k,n}
> >
> > Was soll [mm]\{k, n\}[/mm] heissen/sein?
Die Frage gilt immer noch.
> > > Wenn ich den Wiederspruch aufzeigen würde das zwar [mm]n|n^k[/mm]
> > > teilt aber [mm]n|k^n[/mm] nicht teilt. Oder [mm]k|n^k[/mm] nicht teilt aber
> > > [mm]k|k^n[/mm] Dann wäre es doch schon bewiesen oder?
> >
> > Dann waere was bewiesen?
>
> Ich denke daraus würde folgen => [mm]k^n\not=n^k[/mm]
Ja, aber wie willst du das zeigen?
> > > Mein 2ter Gedanke wäre. Laut Bedingung [mm]0\le[/mm] k<n
> > > Dann ist k immer irgendein Vorgänger z.B. (n-1)
> > > also müsste gelten [mm](n-1)^n=n^{n-1}[/mm]
> >
> > Wie kommst du dadrauf?!?
> >
> > Behandle doch erstmal den Fall, dass [mm]k = 0[/mm] ist. Dann mach
> > mit [mm]k > 0[/mm] weiter.
> >
> > Mach es doch mal anders. Schreibe [mm]n = a n'[/mm], [mm]k = a k'[/mm] mit [mm]a = ggT(n, k)[/mm];
> > dann sind [mm]n', k'[/mm] teilerfremd und es gilt [mm]0 < k' \le n'[/mm].
>
> Ich würde es halbwegsverstehen, wenn man annimmt, [mm]n^k=k^n[/mm]
> => n=k
Das sollst du wenn schon zeigen, nicht annehmen.
> und damit auf n = an', k = ak' aber dann wäre n'
> und k' nicht teilerfremd.
Wieso? Wenn du $a = ggT(n, k)$ waehlst und $n' = [mm] \frac{n}{a}$, [/mm] $k' = [mm] \frac{n}{k}$ [/mm] dann sind $n'$ und $k'$ immer teilerfremd.
> Ich probiere schon die ganze Zeit ein sinniges Bsp. zu
> finden um diese Aussagen zu verstehen aber irgendwas fällt
> nichts praktisches ein. Worauf basiert deine Beweisskizze?
Diese Beweisskizze basiert auf Intuition und dem Wissen, dass man jedes Paar von Zahlen so darstellen kann. Wenn man nun bedenkt, dass aus [mm] $n^k [/mm] = [mm] k^n$ [/mm] folgt, dass $n$ und $k$ die gleichen Primfaktoren besitzen muessen (also alles andere als teilerfremd sind), kann man ja mal versuchen so vorzugehen und eventuell zu zeigen dass $n' = 1 = k'$ ist, also $n = k$.
Nehm doch einfach an, du hast eine Loesung $n, k$ mit [mm] $n^k [/mm] = [mm] k^n$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ und schreibe $n = a n'$, $k = a k'$ mit $n', k'$ teilerfremd, und versuche aus [mm] $n^k [/mm] = [mm] k^n$ [/mm] Aussagen ueber $a$, $n'$ und $k'$ zu treffen, wie ich es oben vorgemacht hab.
LG Felix
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