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Forum "Differenzialrechnung" - Beweis durch vollständige Indu
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Beweis durch vollständige Indu: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Mi 05.01.2005
Autor: who11

Hallo,

im Mathe Profilkurs haben wir diese Aufgabe gekriegt :

[mm] 2^n>2n-1 [/mm]

Diese Formel sollen wir mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen.
Ich weiß leider nicht wie!

Der Induktionsanfang krieg ich noch hin

n=1; [mm] 2^1>2*1-1 [/mm]
            2>1 w.A.

Ich bedanke mich schon mal im vorraus für die Hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Beweis durch vollständige Indu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mi 05.01.2005
Autor: Loddar

Hallo who11,

auch Dir ein [willkommenmr] !!

Wenn Du Probleme mit dem Verfahren der vollständigen Induktion hast, schau' doch einfach mal hier.


> Hallo,
> im Mathe Profilkurs haben wir diese Aufgabe gekriegt :
> [mm]2^n>2n-1[/mm]
>  
> Diese Formel sollen wir mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen.
>  
> Der Induktionsanfang krieg ich noch hin
> n=1; [mm]2^1>2*1-1[/mm]
>              2>1 w.A.

[daumenhoch]


Dann gehen wir mal weiter.

Induktionsvoraussetzung (I.V.): [mm]2^n > 2n - 1[/mm] gilt für n


Induktionsbehauptung: [mm]2^{n+1} > 2*(n+1) - 1 = 2n + 1[/mm]


Induktionsschritt:
[mm]2^{n+1} = 2^n * 2^1 = 2^n * 2 \underbrace{>}_{I.V.} (2n - 1) * 2 = 4n - 2 = (2n + 1) + \underbrace{(2n - 3)}_{>0, \forall n\ge2} > 2n + 1[/mm]
Voilà ...


Alle Klarheiten beseitigt ... ;-)
Sonst nachfragen!


Grüße
Loddar

Bezug
                
Bezug
Beweis durch vollständige Indu: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Mi 05.01.2005
Autor: who11

Hallo Loddar,

danke für die schnelle Antwort aber zwei Fragen habe ich noch.

Bei der I.V. setzt man dort nicht für n=k und dann in deer I.Beh. k=k+1;
also für alle nat. Zahlen und deren Nachfolger.

Beim I.B. verstehe ich das Zeichen unter (2n-3) nicht.


Bezug
                        
Bezug
Beweis durch vollständige Indu: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Mi 05.01.2005
Autor: Loddar

Hallo who11!


> Bei der I.V. setzt man dort nicht für n=k und dann in deer
> I.Beh. k=k+1; also für alle nat. Zahlen und deren Nachfolger.

[kopfkratz3] Diese Vorgehensweise ist mir so nicht bekannt.
Es ist mir auch nicht klar, warum ich hier noch eine weitere (= zusätzliche) Variable ins Spiel bringen muß ...
Meine Variable (hier: n) wurde mir doch in der Aufgabenstellung vorgegeben.
Also ich halte diesen Schritt für überflüssig [meinemeinung].


> Beim I.B. verstehe ich das Zeichen unter (2n-3) nicht.

Wir haben in unserer "Argumentationskette" stehen: $4n+2$

Da ich weiß, was ich erreichen will (nämlich: 2n+1), teile ich den Ausdruck auf in eben diesen Ausdruck 2n+1 + "Rest".
Dieser "Rest" beträgt nun 2n-3, und dieser "Rest" stört mich noch in meinem Nachweis.

Also sehe ich mir an, welche Eigenschaften dieser "Rest" hat; z.B. ist er größer, kleiner oder gleich 0?
Für meinen Nachweis benötige ich [mm] "$\ge [/mm] 0$".
Also wann ist dieser "Rest" [mm] $\ge [/mm] 0$?

$2n-3 [mm] \ge [/mm] 0$   [mm] $\gdw$ [/mm]   $n [mm] \ge \bruch{3}{2}$ [/mm]
Diese Bedingung reicht mir aus: für n=1 haben wir unsere Behauptung bereits nachgewiesen, also gilt für $n [mm] \ge [/mm] 2$, da $n [mm] \in \IN$: [/mm] 2n-3 > 0 !!!

Und das steht etwas formaler unter der geschweiften Klammer:
(2n-3) > 0, [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2$

Übersetzung:
"2n-3 ist größer als 0 für alle n, die größer oder mindestens 2 sind"


Nun etwas klarer??

Grüße in meine Heimatstadt ...
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Beweis durch vollständige Indu: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:33 Mi 05.01.2005
Autor: who11

Danke Loddar,
unser Mathelehrer will das so! Kann ich nichts dran ändern und find ich eigentlich auch total überflüssig!

Gruß Stefan
Bezug
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