Beweis durch vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Beweisen sie durch vollst. Induktion:
[mm] M_n [/mm] :={m [mm] \in \IN [/mm] | m ungerade, 5 teilt nicht m, m<10n}. Dann gilt [mm] \summe_{m \in M_n}^{}m=20n^2 [/mm] |
Guten Tag liebe Comminity,
ich hab ein problem bei voll. Induktion.
Normalerweise finde ich sie recht einfach bzw einleuchtend, nur hier komme beim Induktionsschritt nicht weiter.
Die ersten beiden Schritte sind ja noch einfach:
1. Induktionsanfang n=1
[mm] 1+3+7+9=20*n^2=20 [/mm] stimmt
2. Induktionsvorraussetzung
es gelte für alle n : [mm] \summe_{m \in M_(n+1)}^{}m=20n^2; M_n [/mm] :={m [mm] \in \IN [/mm] | m ungerade, 5 teilt nicht m, m<10n}
Nun bisher stand das "n" bei der Summe immer im Endwert, sodass man die Summe aufteilen konnte und wieder zur Induktionsvorrauswsetzung kommt.
Diesmal steht es im Anfangswert, sodass ich die Summe nicht verändern kann.
Hab mir auch überlegt, dass die Beziehung von m und n ja nur duch [mm] M_n [/mm] festgelegt wird. Beim Induktionsschritt wird diese Beziehung nur durch m<10(n+1) verändert. Die anderen Bedingungen (m ungerade, 5 teilt nicht m) bleiben gleich.
Nur ist mir bisher noch nichts sinnvolles eingefallen, was ich damit anfangen kann.
Hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Gruß,
sup
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Huhu,
> 2. Induktionsvorraussetzung
> es gelte für alle n : [mm]\summe_{m \in M_(n+1)}^{}m=20n^2; M_n[/mm]
Hier ist dir ein Fehler unterlaufen.
Die Summe läuft nur über [mm] $M_n$ [/mm] nicht über [mm] $M_{n+1}$
[/mm]
> Hab mir auch überlegt, dass die Beziehung von m und n ja
> nur duch [mm]M_n[/mm] festgelegt wird. Beim Induktionsschritt wird
> diese Beziehung nur durch m<10(n+1) verändert. Die anderen
> Bedingungen (m ungerade, 5 teilt nicht m) bleiben gleich.
> Nur ist mir bisher noch nichts sinnvolles eingefallen, was
> ich damit anfangen kann.
Genau. Mach dir mal klar, um welche Elemente sich [mm] M_{n+1} [/mm] von [mm] M_n [/mm] unterscheidet:
[mm] $M_{n+1} [/mm] = [mm] \left\{m \in \IN |\; 2\not|\,m, 5 \not| \,m, m<10(n+1)\right\}$
[/mm]
$= [mm] \left\{m \in \IN |\; 2\not|\,m, 5 \not| \,m, m<10n+10\right\} [/mm] $
$= [mm] \left\{m \in \IN |\; 2\not|\,m, 5 \not| \,m, m<10n\right\} \cup \left\{m \in \IN |\; 2\not|\,m, 5 \not| \,m, 10n \le m <10n+10\right\} [/mm] $
$= [mm] M_n \cup \left\{m \in \IN |\; 2\not|\,m, 5 \not| \,m, 10n \le m <10n+10\right\}$
[/mm]
Und bei der letzten Menge kannst du dir einfach überlegen, welche (und wieviele) Elemente da drin sind, es kommen ja sowieso nur die 10 Elemente in Frage, für die gilt $10n [mm] \le [/mm] m <10n+10$
Ich fang mal mit dem ersten beiden Elementen an, und du machst weiter:
$10n [mm] \not\in M_{n+1}$, [/mm] da offensichtlich $2|10n$ und $5|10n$
$10n + 1 [mm] \in M_{n+1}$, [/mm] da [mm] $2\not|\, [/mm] 10n+1$ und [mm] $5\not|10n [/mm] + 1$
Mach mal weiter 
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Huhu,
>
> > 2. Induktionsvoraussetzung
> > es gelte für alle n : [mm]\summe_{m \in M_(n+1)}^{}m=20n^2; M_n[/mm]
>
> Hier ist dir ein Fehler unterlaufen.
> Die Summe läuft nur über [mm]M_n[/mm] nicht über [mm]M_{n+1}[/mm]
Stimmt, das [mm] M_{n+1} [/mm] sollte beim Induktionsschritt hin
> Genau. Mach dir mal klar, um welche Elemente sich [mm]M_{n+1}[/mm]
> von [mm]M_n[/mm] unterscheidet:
>
> [mm]M_{n+1} = \left\{m \in \IN |\; 2\not|\,m, 5 \not| \,m, m<10(n+1)\right\}[/mm]
>
> [mm]= \left\{m \in \IN |\; 2\not|\,m, 5 \not| \,m, m<10n+10\right\}[/mm]
>
> [mm]= \left\{m \in \IN |\; 2\not|\,m, 5 \not| \,m, m<10n\right\} \cup \left\{m \in \IN |\; 2\not|\,m, 5 \not| \,m, 10n \le m <10n+10\right\}[/mm]
>
> [mm]= M_n \cup \left\{m \in \IN |\; 2\not|\,m, 5 \not| \,m, 10n \le m <10n+10\right\}[/mm]
>
Warum steht in der letzten Zeile die Vereinigung? bzw warum steht hinten 10n [mm] \le [/mm] m <10n+10
[mm] M_n [/mm] sagt ja aus, dass m<10n sein muss und du schreibts jetzt größer gleich...
> Und bei der letzten Menge kannst du dir einfach überlegen,
> welche (und wieviele) Elemente da drin sind, es kommen ja
> sowieso nur die 10 Elemente in Frage, für die gilt [mm]10n \le m <10n+10[/mm]
>
> Ich fang mal mit dem ersten beiden Elementen an, und du
> machst weiter:
>
> [mm]10n \not\in M_{n+1}[/mm], da offensichtlich [mm]2|10n[/mm] und [mm]5|10n[/mm]
ok 10n ist aufjedenfall teilbar durch 5 und eine gerade Zahl
> [mm]10n + 1 \in M_{n+1}[/mm], da [mm]2\not|\, 10n+1[/mm] und [mm]5\not|10n + 1[/mm]
Warum 10n+1? Oder meinst du man soll jetzt alle Elemente überprüfen?
10n+1, 10n+2,....,10n+10?
> Mach mal weiter
/E: dann komtm ich drauf, dass 10n+1, 10n+3, 10n+7, und 10n+9 in [mm] M_{n+1} [/mm] liegt.
Das sind genau die Zahlen (gemeint, die hinteren Summanden), die auch in [mm] M_n [/mm] liegen für n=1
>
> MFG;
> Gono.
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Hiho,
> Warum steht in der letzten Zeile die Vereinigung? bzw warum
> steht hinten 10n [mm]\le[/mm] m <10n+10
> [mm]M_n[/mm] sagt ja aus, dass m<10n sein muss und du schreibts
> jetzt größer gleich...
Aufpassen! Wir betrachten Elemente aus [mm] M_{n+1} [/mm] d.h. alle Elemente für die gilt:
$m < 10(n+1) = 10n+10$
Die hab ich nun aufgeteilt in alle Elemente, für die gilt $m< 10n$
Und den "Rest", das ist aber gerade $10n [mm] \le [/mm] m < 10n+10$.
> Warum 10n+1? Oder meinst du man soll jetzt alle Elemente
> überprüfen?
> 10n+1, 10n+2,....,10n+10?
>
> > Mach mal weiter
>
> /E: dann komtm ich drauf, dass 10n+1, 10n+3, 10n+7, und
> 10n+9 in [mm]M_{n+1}[/mm] liegt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau.
Und nun mach mal weiter:
[mm] $\summe_{m\in M_{n+1}} [/mm] m = [mm] \summe_{m\in M_n} [/mm] + [mm] \ldots$
[/mm]
Bis am Ende das Gewünschte [mm] 20n^2 [/mm] dasteht
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Hiho,
>
> > Warum steht in der letzten Zeile die Vereinigung? bzw warum
> > steht hinten 10n [mm]\le[/mm] m <10n+10
> > [mm]M_n[/mm] sagt ja aus, dass m<10n sein muss und du schreibts
> > jetzt größer gleich...
>
> Aufpassen! Wir betrachten Elemente aus [mm]M_{n+1}[/mm] d.h. alle
> Elemente für die gilt:
>
> [mm]m < 10(n+1) = 10n+10[/mm]
>
> Die hab ich nun aufgeteilt in alle Elemente, für die gilt
> [mm]m< 10n[/mm]
>
> Und den "Rest", das ist aber gerade [mm]10n \le m < 10n+10[/mm].
So ganz leuchtet mir das noch nicht ein.
Wir betrachten die Elemente m<(10n+10)
Wie du auf das m<10n kommst ist klar, das folgt ja auch aus obiger Ungleichung. Dafür schreibst du die Summe [mm] \summe_{m \in M_n}^{}
[/mm]
Nur wie kommt der "Rest" zustande?
> > Warum 10n+1? Oder meinst du man soll jetzt alle Elemente
> > überprüfen?
> > 10n+1, 10n+2,....,10n+10?
> >
> > > Mach mal weiter
> >
> > /E: dann komtm ich drauf, dass 10n+1, 10n+3, 10n+7, und
> > 10n+9 in [mm]M_{n+1}[/mm] liegt.
>
>
>
> Genau.
>
>
> Und nun mach mal weiter:
>
> [mm]\summe_{m\in M_{n+1}} m = \summe_{m\in M_n} + \ldots[/mm]
Weiß auch hier nicht ganz vorauf du hinauswillst, srry.
[mm] \summe_{m\in M_{n+1}} [/mm] m = [mm] \summe_{m\in M_n} [/mm] m+1 + [mm] \summe_{m\in M_n} [/mm] m+3 + ....
So ergibt das meiner Meinung zumindest keinen Sinn^^
> Bis am Ende das Gewünschte [mm]20n^2[/mm] dasteht
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Huhu,
> So ganz leuchtet mir das noch nicht ein.
> Wir betrachten die Elemente m<(10n+10)
> Wie du auf das m<10n kommst ist klar, das folgt ja auch
> aus obiger Ungleichung. Dafür schreibst du die Summe
> [mm]\summe_{m \in M_n}^{}[/mm]
> Nur wie kommt der "Rest" zustande?
du scheinst hier zwei verschiedene Dinge in einen Topf zu würfeln, darum nochmal langsam:
Wir wollen ja über alle m aus [mm] M_{n+1} [/mm] summieren, dazu überlegen wir uns erstmal, wie [mm] $M_{n+1}$ [/mm] aussieht.
Auch wenn du das vielleicht schon verstanden hattest, nochmal etwas rudimentärer erklärt.
[mm] M_n [/mm] enthält alle Elemente m mit m<10n und einer bestimmten Eigenschaft (bei uns: nicht durch 2 und nicht durch 5 teilbar), also:
[mm] $M_n [/mm] = [mm] \{m<10n \text{ mit unserer Eigenschaft }\}$
[/mm]
Nun betrachten wir [mm] $M_{n+1}$, [/mm] das wäre ja:
[mm] $M_{n+1} [/mm] = [mm] \{m<10(n+1) \text{ mit unserer Eigenschaft }\}$
[/mm]
nun können wir obige Menge auch einfach zerlegen in die m's die kleiner als 10n sind (damit wir auf [mm] M_n [/mm] kommen) und die m, die grössergleich 10n sind (aber immer noch echt kleiner als 10(n+1)!), heisst:
[mm] $M_{n+1} [/mm] = [mm] \{m<10n \text{ mit unserer Eigenschaft }\} \cup \{10n \le m< 10(n+1) \text{ mit unserer Eigenschaft }\}$
[/mm]
Von der ersten Menge wissen wir ja bereits, dass sie [mm] M_n [/mm] ist und die zweite Menge hast du ja selbst "berechnet" es gilt nämlich:
[mm] $\{10n \le m< 10(n+1) \text{ mit unserer Eigenschaft }\} [/mm] = [mm] \{10n+1,10n+3,10n+7,10n+9\}$
[/mm]
d.h. wir bekommen für [mm] $M_{n+1}$ [/mm] die (disjunkte) Darstellung:
[mm] $M_{n+1} [/mm] = [mm] M_n \cup \{10n+1,10n+3,10n+7,10n+9\}$
[/mm]
Na und nun kannst du die Summe über [mm] $M_{n+1}$ [/mm] auseinandernehmen in:
[mm] $\summe_{m\in M_{n+1}} [/mm] m = [mm] \summe_{m\in M_n} [/mm] m + [mm] \summe_{m\in \{10n+1,10n+3,10n+7,10n+9\}} [/mm] m $
Die erste Summe kannst du nach IV einsetzen, die zweite ist einfach ausschreiben des Summenzeichens in eine Summe ohne Summenzeichen 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Sup |
> du scheinst hier zwei verschiedene Dinge in einen Topf zu
> würfeln, darum nochmal langsam:
>
> Wir wollen ja über alle m aus [mm]M_{n+1}[/mm] summieren, dazu
> überlegen wir uns erstmal, wie [mm]M_{n+1}[/mm] aussieht.
>
> Auch wenn du das vielleicht schon verstanden hattest,
> nochmal etwas rudimentärer erklärt.
>
> [mm]M_n[/mm] enthält alle Elemente m mit m<10n und einer bestimmten
> Eigenschaft (bei uns: nicht durch 2 und nicht durch 5
> teilbar), also:
>
> [mm]M_n = \{m<10n \text{ mit unserer Eigenschaft }\}[/mm]
>
> Nun betrachten wir [mm]M_{n+1}[/mm], das wäre ja:
>
> [mm]M_{n+1} = \{m<10(n+1) \text{ mit unserer Eigenschaft }\}[/mm]
>
> nun können wir obige Menge auch einfach zerlegen in die
> m's die kleiner als 10n sind (damit wir auf [mm]M_n[/mm] kommen) und
> die m, die grössergleich 10n sind (aber immer noch echt
> kleiner als 10(n+1)!), heisst:
>
> [mm]M_{n+1} = \{m<10n \text{ mit unserer Eigenschaft }\} \cup \{10n \le m< 10(n+1) \text{ mit unserer Eigenschaft }\}[/mm]
>
> Von der ersten Menge wissen wir ja bereits, dass sie [mm]M_n[/mm]
> ist und die zweite Menge hast du ja selbst "berechnet" es
> gilt nämlich:
>
> [mm]\{10n \le m< 10(n+1) \text{ mit unserer Eigenschaft }\} = \{10n+1,10n+3,10n+7,10n+9\}[/mm]
>
> d.h. wir bekommen für [mm]M_{n+1}[/mm] die (disjunkte)
> Darstellung:
>
> [mm]M_{n+1} = M_n \cup \{10n+1,10n+3,10n+7,10n+9\}[/mm]
>
> Na und nun kannst du die Summe über [mm]M_{n+1}[/mm]
> auseinandernehmen in:
>
> [mm]\summe_{m\in M_{n+1}} m = \summe_{m\in M_n} m + \summe_{m\in \{10n+1,10n+3,10n+7,10n+9\}} m[/mm]
>
> Die erste Summe kannst du nach IV einsetzen, die zweite ist
> einfach ausschreiben des Summenzeichens in eine Summe ohne
> Summenzeichen
>
> MFG,
> Gono.
jetzt hab ichs. Danke für die ausführliche Erklärung. Werd's morgen nochmal alleine Rechneun und hoffentlich sitzt es dann.
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