Beweis durch Rechnung in C < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Zeigen Sie durch eine Rechnung in [mm] \IC, [/mm] dass für alle [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
[mm]\sin 5 \alpha = 16 \sin^{5} \alpha - 20 \sin^{3} \alpha + 5 \sin \alpha[/mm]
Ich habe mir überlegt, da ich offensichtlich den Realteil einer Komplexen Zahl beweisen soll, die Formel
[mm]\cos \alpha + i \sin \alpha = e^{i \alpha}[/mm]
zu verwenden und dort immer nur den Realteil zu nehmen.
Allerdings weiß ich nicht, wie das zu bewerkstelliegen ist.
Hat jemand eine Idee?
Ich war soweit, dass ich folgende Formel aufgebaut hatte, aber dann komme ich immer mit den ganzen [mm]i[/mm]-Zeug durcheinander.
[mm]\sin5\alpha = Im(e^{5i\alpha}) = Im( (\cos\alpha + i\sin\alpha)^{5} )[/mm]
[mm](\cos\alpha + i\sin\alpha)^{5} = (\cos\alpha + i\sin\alpha)^{2} (\cos\alpha + i\sin\alpha)^{2} (\cos\alpha + i\sin\alpha)[/mm]
Das habe ich dann versucht auszumultiplizieren, nach der inomischen Formel, aber ich weißt nicht, wie ich das mit den i's handhaben soll. Das [mm] i^{2} = -1[/mm] gilt, ist mir klar, aber was ist, wenn ich zum Beispiel nur das i in einer Summe habe?
Danke für eure Ideen. Basti
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo crazy.memphis,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie durch eine Rechnung in [mm]\IC,[/mm] dass für alle
> [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> [mm]\sin 5 \alpha = 16 \sin^{5} \alpha - 20 \sin^{3} \alpha + 5 \sin \alpha[/mm]
>
>
> Ich habe mir überlegt, da ich offensichtlich den Realteil
> einer Komplexen Zahl beweisen soll, die Formel
>
> [mm]\cos \alpha + i \sin \alpha = e^{i \alpha}[/mm]
>
> zu verwenden und dort immer nur den Realteil zu nehmen.
> Allerdings weiß ich nicht, wie das zu bewerkstelliegen
> ist.
> Hat jemand eine Idee?
>
> Ich war soweit, dass ich folgende Formel aufgebaut hatte,
> aber dann komme ich immer mit den ganzen [mm]i[/mm]-Zeug
> durcheinander.
>
> [mm]\sin5\alpha = Im(e^{5i\alpha}) = Im( (\cos\alpha + i\sin\alpha)^{5} )[/mm]
>
> [mm](\cos\alpha + i\sin\alpha)^{5} = (\cos\alpha + i\sin\alpha)^{2} (\cos\alpha + i\sin\alpha)^{2} (\cos\alpha + i\sin\alpha)[/mm]
>
> Das habe ich dann versucht auszumultiplizieren, nach der
> inomischen Formel, aber ich weißt nicht, wie ich das mit
> den i's handhaben soll. Das [mm]i^{2} = -1[/mm] gilt, ist mir klar,
> aber was ist, wenn ich zum Beispiel nur das i in einer
> Summe habe?
Wende einfach stur die binomische Formel an:
[mm]
\left( {\cos \;\alpha \; + \;i\;\sin \;\alpha } \right)^5 \; = \;\sum\limits_{k = 0}^5 {\left( {\begin{array}{*{20}c}
5 \\
k \\
\end{array} } \right)\;\cos ^k \alpha \;\left( {i\;\sin \;\alpha } \right)^{5 - k} } [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
