Beweis durch Axiome < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mi 24.10.2007 | | Autor: | cloui |
| Aufgabe | Benutze nur die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome, die daraus gezogenen Folgerungen, um zu zeigen:
1) aus x > 0 folgt [mm] x^{-1} [/mm] > 0, und aus x < 0, folgt [mm] x^{-1} [/mm] < 0
2) für a,b,c,d > 0 mit [mm] \bruch{a}{b}< \bruch{c}{d} [/mm] gilt [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{a+c}{b+d} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d} [/mm] |
also bei 1) würde ich folgerndermaßen vorgehen:
(mache das aber nur für den ersten teil, der andere würde dann analog folgen)
[mm] x^{-1} [/mm] > 0 --> [mm] \bruch{1}{x} [/mm] > 0
da laut rechenregel x > 0 --> [mm] \bruch{1}{x} [/mm] > 0 gilt, folgt
--> x > 0
richtig so?
bei der 2) komm ich einfach nich weiter
muss ich mit der linken oder der rchten seite anfangen? also ich meine ob ich
[mm] \bruch{a}{b}< \bruch{c}{d} [/mm] oder [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{a+c}{b+d} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d} [/mm] umwandeln muss?
vllt könnte man mir das erst mal sagen, damit ich nich beide rechnungen die ich angefangen hab hinschreiben muss :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Mi 24.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Benutze nur die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome, die
> daraus gezogenen Folgerungen, um zu zeigen:
> 1) aus x > 0 folgt [mm]x^{-1}[/mm] > 0, und aus x < 0, folgt [mm]x^{-1}[/mm]
> < 0
> 2) für a,b,c,d > 0 mit [mm]\bruch{a}{b}< \bruch{c}{d}[/mm] gilt
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{a+c}{b+d}[/mm] < [mm]\bruch{c}{d}[/mm]
> also bei 1) würde ich folgerndermaßen vorgehen:
> (mache das aber nur für den ersten teil, der andere würde
> dann analog folgen)
> [mm]x^{-1}[/mm] > 0 --> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] > 0
> da laut rechenregel x > 0 --> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] > 0 gilt, folgt
> --> x > 0
Woher hast du diese Rechenregel? habt ihr die so bewiesen? [mm] x^{-^} [/mm] ist definiert als Inverses von x also durch x*x^-1=1
eigentlich ist [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dafür nur ne andere Schreibweise.
wenn ihr das mit 1/x bewiesen habt dann musst du sagen was 1/x ist.
sonst hast du ja nix bewiesen sondern nur die Behauptung in anderer Schreibweise wiedr geschrieben und sie "Rechenregel" genant.
> richtig so?
>
> bei der 2) komm ich einfach nich weiter
> muss ich mit der linken oder der rchten seite anfangen?
der Satz für a,b,c,d > 0 mit [mm]\bruch{a}{b}< \bruch{c}{d}[/mm] gilt
heisst dass das gegeben ist und was nach gilt steht aus dieser Vorraussetzung bewiesen werden muss.
Dazu kommt, dass du bei dem Beweis IMMER dzusagen musst, welches Axiom oder welche BEWIESENE Folgerung daraus du gerade benutzest.
etwa Axiom 3, zitieren und und Satz ..... aus der Vorlesung zitieren.
Wenn du was mehrfach benutzt kannst dus nummerieren und etwa Satz 1 nennen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 24.10.2007 | | Autor: | cloui |
> Woher hast du diese Rechenregel? habt ihr die so bewiesen?
ich hätte vllt dazu sagen sollen, dass wir das in der vorlesung unter rechenregeln aufgeschrieben hatten und in der aufgabe stand ja "aus den anordnungsaxiomen und den daraus gezogenen folgerungen" dadurch denke ich das ich das als regel hinschreiben kann, dann wäre die aufgabe doch richtig oder?
ok, dann zeig ich nunmal wie weit ich gekommen bin mit 2)
$ [mm] \bruch{a}{b} [/mm] $ < $ [mm] \bruch{a+c}{b+d} [/mm] $ < $ [mm] \bruch{c}{d} [/mm] $
--> [mm] ab^{-1} [/mm] < (a + c) (b + [mm] d)^{-1} [/mm] < [mm] cd^{-1}
[/mm]
--> [mm] ab^{-1} [/mm] < (a + c) (b + [mm] d)^{-1} [/mm] < [mm] cd^{-1}
[/mm]
--> [mm] ab^{-1} [/mm] < (a + c) [mm] b^{-1} d^{-1} [/mm] < [mm] cd^{-1}
[/mm]
--> [mm] ab^{-1} [/mm] < [mm] (ab^{-1} [/mm] + [mm] cb^{-1}) d^{-1} [/mm] < [mm] cd^{-1}
[/mm]
--> [mm] ab^{-1} [/mm] < [mm] (ab^{-1}d^{-1} [/mm] + [mm] cb^{-1}d^{-1}) [/mm] < [mm] cd^{-1}
[/mm]
genau hier komme ich nicht weiter, bis jetzt waren das doch nur rechenregeln oder? keine axiome
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Mi 24.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur ersten: sieh nach ob ihr die Rechenregel bewiesen habt, und ob ihr [mm] 1/x=x^{-1}
[/mm]
definiert habt, oder was ist 1/x
>
>
> ok, dann zeig ich nunmal wie weit ich gekommen bin mit 2)
Du gehst hier von der Behauptung aus, eigentlich geht das nicht so, manchmal kommt man aber danit weiter, und am Schluss bei der Vorraussetzung an. Wenn man das hat, rollt man dann von hinten auf:
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{a+c}{b+d}[/mm] < [mm]\bruch{c}{d}[/mm]
> --> [mm]ab^{-1}[/mm] < (a + c) (b + [mm]d)^{-1}[/mm] < [mm]cd^{-1}[/mm]
> --> [mm]ab^{-1}[/mm] < (a + c) (b + [mm]d)^{-1}[/mm] < [mm]cd^{-1}[/mm]
> --> [mm]ab^{-1}[/mm] < (a + c) [mm]b^{-1} d^{-1}[/mm] < [mm]cd^{-1}[/mm]
wie kommst du dazu, dass [mm] (b+d)^{-1} =b^{-1} d^{-1}
[/mm]
einfaches Beispiel b=d=1 [mm] (1+1)^{-1}=1/2 1^{-1}*1^{-1}=1
[/mm]
> --> [mm]ab^{-1}[/mm] < [mm](ab^{-1}[/mm] + [mm]cb^{-1}) d^{-1}[/mm] < [mm]cd^{-1}[/mm]
> --> [mm]ab^{-1}[/mm] < [mm](ab^{-1}d^{-1}[/mm] + [mm]cb^{-1}d^{-1})[/mm] < [mm]cd^{-1}[/mm]
>
> genau hier komme ich nicht weiter, bis jetzt waren das doch
> nur rechenregeln oder? keine axiome
ich glaub nicht, dass du so durchkommst. du brauchst irgendwo die Def :wann ist a<b üblicherweise ist das a-b<0 vielleicht auch 0<b-a?
oder was ist euer Anordnungsaxiom?
Schreib dir die Axiome auf und sieh nach, welches du benutzt,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Do 25.10.2007 | | Autor: | cloui |
ok
also wir hatten folgende anordnungsaxiome:
1) Trichomiegesetz: für je zwei reelle zahlen a,b gilt stets eine, aber auch nur eine, der drei beziehungen: a < b, a = b, a > b
2) transitivitätsgesetz: ist a < b und b < c, so folgt a < c
3) monotoniegesetz: ist a < b, so gilt: a + c < b + c und ac < bc für jedes c > 0
kann ich nun sagen, weil [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{a + c}{b + d} [/mm] und
[mm] \bruch{a + c}{b + d} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d} [/mm] gilt laut anordnungsaxiom 2 :
[mm] \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d} [/mm] ?
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> ok
> also wir hatten folgende anordnungsaxiome:
> 1) Trichomiegesetz: für je zwei reelle zahlen a,b gilt
> stets eine, aber auch nur eine, der drei beziehungen: a <
> b, a = b, a > b
> 2) transitivitätsgesetz: ist a < b und b < c, so folgt a <
> c
> 3) monotoniegesetz: ist a < b, so gilt: a + c < b + c und
> ac < bc für jedes c > 0
>
> kann ich nun sagen, weil [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{a + c}{b + d}[/mm]
> und
> [mm]\bruch{a + c}{b + d}[/mm] < [mm]\bruch{c}{d}[/mm]
Hallo,
das kannst Du sagen, wenn Du irgendwoher weißt, daß es gilt. Aber das weißt Du doch überhaupt nicht, oder sehe ich da etas falsch?
> gilt laut anordnungsaxiom 2 :
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{c}{d}[/mm] ?
Wenn Du Obiges wüßtest, könntest Du tatsächlich so schließen, aber Du weißt es ja nicht, oder?
Das ist aber nicht das eigentliche Problem.
Das eigentliche Problem ist, daß Du recht unbekümmert die [mm] Voraussetzung\bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d} [/mm] und die zu zeigende Folgerung vermischst.
Es ist immer hilfreich, wenn man sich aufschreibt, was die Voraussetzung ist, und was zu zeigen ist.
Und Du darfst nur tun, was Du mit irgendeinem Satz oder einer Def. begründen kannst.
Ich würde mir die zu zeigende Behauptung als allererstes in zwei Teile zerlegen:
A. [mm] \bruch{a}{b} <\bruch{a + c}{b + d}
[/mm]
und
B. [mm] \bruch{a + c}{b + d} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}
[/mm]
Dann würde ich so anfangen:
zu A.
Es seien a,b,c,d>0, und es sei [mm] \bruch{a }{b } [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}
[/mm]
Zu zeigen: [mm] \bruch{a}{b} <\bruch{a + c}{b + d}.
[/mm]
(Nun würde ich mir auf einem geheimen Zettel klarmachen, daß ich hierzu zeigen muß, daß a(b+d)<(a+c)b,
d.h. ad < cb. Huch - da hat man schon fast die Lösung...)
Jetzt geht's los:
Nach Voraussetzung ist [mm] \bruch{a }{b } [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}.
[/mm]
Da b>0 ist folgt [mm] \bruch{a }{b }b [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}*b [/mm] (Montonie)
Nun steuere unter exakter Anwendung der Euch bekannten Rechengesetze (Ich weiß ja nicht, was Ihr definiert habt!)
zu auf ad<cb.
Dann addiere ab, wie's weitergeht, müßte dann aufgründ der Geheimüberlegung klar sein.
Ich bin übrigens nicht der Meinung, daß Du 1) schon bewiesen hast - ich sage daß nur sicherheitshalber, leduart hatte es auch schon erwähnt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Do 25.10.2007 | | Autor: | cloui |
ok, ich glaub ich habs
$ [mm] \bruch{a }{b }b [/mm] $ < $ [mm] \bruch{c}{d}\cdot{}b [/mm] $
--> [mm] \bruch{ab}{b} [/mm] < [mm] \bruch{cb}{d} [/mm] (wäre eine logische rechenoperation)
--> [mm] \bruch{ab}{b} a^{-1} [/mm] < [mm] \bruch{cb}{d} a^{-1} [/mm] (multiplikatives Inverses)
--> [mm] \bruch{ab}{ab} [/mm] < [mm] \bruch{cb}{da}
[/mm]
--> 1 < [mm] \bruch{cb}{ad} [/mm]
--> ad < bc (ereitern mit +(ab)
--> ad + ab < bc + ab (anwenden des Distributivgesetz)
-->a (d+b) < b(c+a)
-->$ [mm] \bruch{a}{b} <\bruch{a + c}{b + d} [/mm] $
zu der 1. aufgabe: es stand halt dort das man das mit den axiomen und den folgerungen daraus, die wir bereits im unterricht geschlossen hatten beweisen sollen, und wir hatten diese rechnung bzw. beweis das wenn x< 0 auch 1/x < 0 ist in der vorlesung, also verstehe ich es so das ich das auch benutzen darf oder? wir haben auch gesagt bekommen das wir das was schon in der vorlesung bewisen wurde, nicht nochmal beweisen müssten
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Hi cloui!
Wann haben wir denn bewiesen dann aus x<0 [mm] \Rightarrow [/mm] x^-1 <0 ?
Ich sehe das nicht in meinen unterlagen wir haben das nur aufgeschrieben aber nicht bewiesen soweit ich sehe. ich hab die aufgabe auch gelöst schau dir mein beitrag dazu an...ich denke das man das so machen kann...
Gruß
David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Do 25.10.2007 | | Autor: | cloui |
aber in der aufgabe steht "aus den folgerungen der anordnungsaxiome" das haben wir doch als folgerung aufgeschrieben gehabt, also kann man es auch verwenden...so habe ich es zumindest verstanden
kann deiner lösung nicht so ganz folgen: du schreibst [mm] x^{-1} [/mm] * x > 0 und dann [mm] x^{-1} [/mm] * x > 0 * x, ich kann mir schon denken was du damit gemeint hast, aber hättest du nicht direkt [mm] x^{-1} [/mm] * x > 0 * x schreiben können? durch eine erweiterung mit x :)
aber sonst denke ich das deine lösung ganz gut is, vllt könnte man wenn aus [mm] x^{-1} [/mm] * x = 1 folgert, dazu schreiben das es das inverse der multiplikation ist
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ja das hääte man machen können. benutze die definition 1.2.1: O2
wo steht das a,b [mm] \in [/mm] P folgt a*b [mm] \in [/mm] P wobei P [mm] \subset [/mm] K ist...mein beweis ist etwas kurz aber ich denke der ist ok so...mach mir dazu noch ein paar gedanken
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Do 25.10.2007 | | Autor: | cloui |
ein paar beweise die wir z.b. bei den rechenregeln gemacht hatten warn ja auch sehr kurz, von daher dürfte das schon richtig sein ;)
was sagst du denn zu der 2. aufgabe? würdest du das auch so machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
die zweite aufgabe hab ich noch nicht gemacht..wenn sie fertig ist dann melde ich mich noch!
Gruß
David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 So 28.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Ich verstehe was du meinst aber kann man das nicht einfacher machen zb. so:
Sei a/b < c/d
zz: a/b<(a+c)/(b+d)
a/b<(a+c)/(b+d)
[mm] \gdw [/mm] a(b+d)<(a+c)b
[mm] \gdw [/mm] ab+ad<ab+cb Distr.
[mm] \gdw [/mm] ad<bc ab abziehen
[mm] \gdw [/mm] a/b<c/b
Die letzte Ungleichung ist ja nach Voraussetzung richtig also habe ich die zu zeigende Ungleichung zur Voraussetzung umgeformt und damit die zu zeigende Unglewichung bewiesen oder nicht?...
Gruß
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> Ich verstehe was du meinst aber kann man das nicht
> einfacher machen
Hallo,
einfacher als was? Ich weiß nicht genau, worauf Du Dich beziehst.
zb. so:
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> Sei a/b < c/d
>
> zz: a/b<(a+c)/(b+d)
>
> a/b<(a+c)/(b+d)
> [mm]\gdw[/mm] a(b+d)<(a+c)b
Ob Du den Schritt von der ersten zur zweiten Zeile so schnell gehen darfst, weiß ich nicht.
Das kommt halt ganz darauf an, welche Rechengesetze fürs Rechnen mit Brüchen Euch bisher zur Verfügung stehen.
Das Wichtige bei diesen Beweisen ist, daß man lernt, streng nach Definition zu arbeiten. Jede Zeile muß begründet werden mit einer Def. oder Satz, die dran waren. Auf die Begründungen kommt es an.
Will man etwas verwenden, was nicht dran war, muß man es zuvor beweisen.
Abgesehen davon ist der Beweis natürlich richtig.
Gruß v. Angela
> [mm]\gdw[/mm] ab+ad<ab+cb Distr.
> [mm]\gdw[/mm] ad<bc ab abziehen
> [mm]\gdw[/mm] a/b<c/b
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Zur ersten Aufgabe von cloui hab ich ne frage und zwar.
die Voraussetzung ist das x>0 ist
Also sei x>0 gegeben:
zu zeigen ist x^-1 >0 :
[mm] \Rightarrow [/mm] x^-1 * x >0 mit x>0
[mm] \Rightarrow [/mm] x^-1 * x > 0 * x
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 > 0
kann man das so "einfach" machen? und muss ich auch noch beweisen dass 0 * x = 0 ist?
Gruß
David
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> Zur ersten Aufgabe von cloui hab ich ne frage und zwar.
>
> die Voraussetzung ist das x>0 ist
>
> Also sei x>0 gegeben:
>
> zu zeigen ist x^-1 >0 :
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x^-1 * x >0 mit x>0
Hallo,
nein, so geht das nicht, und zwar steckt hier ein grundsätzliches Problem dahinter, welches ich gleich erklären werde.
Was Du sehr schön machst, ist, daß Du die Voraussetzung aufschreibst und das, was zu zeigen ist.
Wenn einem das klar ist, ist nämlich schon viel gewonnen.
Dann allerdings machst Du etwas Fatales: die vermischst Deine Voraussetzung mit dem, was Du zeigen willst, drehst es einmal durch die Maschine und guckst, was hinten raus kommt.
(Voraussetzung und zu zeigende Aussage) ==> irgendwas
Bloß ist das, was hinten herauskommt, völlig irrelevant, denn wir wissen ja gar nicht, ob die zu zeigende Aussage überhaupt stimmt.
Ich hoffe, daß Du das Problem ansatzweise erkennst. (Nicht traurig sein! Solche Fehler macht man am Anfang. Ganz viele der Kommilitonen werden sie auch machen - ein paar nicht. Ich habe zu denen gehört, die sie gemacht haben.)
> kann man das so "einfach" machen? und muss ich auch noch
> beweisen dass 0 * x = 0 ist?
Daß man das nicht so einfach machen kann, haben wir geklärt.
Wenn Du 0*x=0 verwenden möchtest und es noch nicht bewiesen wurde, mußt Du es beweisen.
So, nun wollen wir mal konstruktiv tätig werden.
Wie Du die aussage beweist, hängt davon ab. was bereits dran war.
Wenn Ihr hattet, daß das Quadrat immer positiv ist, geht z.B. folgendes:
Du willst zeigen, daß für x>0 gilt: [mm] x^{-1}>0.
[/mm]
Nun sagst Du: [mm] (x^{-1})^2>0 [/mm] (nach Satz ...)
also ist nach ... auch [mm] 0
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 So 28.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Angela! Ich hab noch mal gesucht und habe gefunden dass wir [mm] x^{2} [/mm] > 0 bewiesen haben....Das habe ich so gemacht.
Wenn wir als Voraussetzung x < 0 haben und zu zeigen ist dass [mm] x^{-1} [/mm] < 0 ist verwendet man doch eigentlich das gleiche nur das man mit -x multipliziert und sich diese größer kleiner relation umdreht bis man schließlich durch anwendung der körperaxiome auf [mm] x^{-1} [/mm] < 0 kommt!
Sehe ich das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 So 28.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo Angela! Ich hab noch mal gesucht und habe gefunden
> dass wir [mm]x^{2}[/mm] > 0 bewiesen haben....Das habe ich so
> gemacht.
>
> Wenn wir als Voraussetzung x < 0 haben und zu zeigen ist
> dass [mm]x^{-1}[/mm] < 0 ist verwendet man doch eigentlich das
> gleiche nur das man mit -x multipliziert und sich diese
> größer kleiner relation umdreht bis man schließlich durch
> anwendung der körperaxiome auf [mm]x^{-1}[/mm] < 0 kommt!
> Sehe ich das richtig?
Das kommt wieder drauf an, ob ihr das bewiesen habt, dass sich die Relation bei Multipl. mit -1 umdreht!
Aber, wenn du x<0 setzt, ist -x>0, d.h. das Rel zeichen dreht sich NICHT um.
hier ist einfacher: wenn x<0 folgt -x>0, dann hast du aus dem vorigen [mm] {-x}^{-1}>0
[/mm]
und brauchst noch dass [mm] (-x)^{-1}=-x^{-1}
[/mm]
das habt ihr wahrscheinlich schon, weil -a=-1*a und [mm] (-1)^{-1}=-1
[/mm]
Gruss leduart
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