Beweis durch Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Folgern sie aus [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] arctan x = [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] folgende Identität: arctan x = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} [/mm] (x [mm] \in [/mm] ]-1,1[). |
Da die Potenzreihe für |x|<1 glm. konvergiert, kann ich sie gliedweise differenzieren. Also:
[mm] (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1})' [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}*2n+1*x^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n.
[/mm]
Da |x|<1 folgt hier nach der geometrischen Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
Insgesamt folgt also: [mm] (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1})' [/mm] = (arctan x)' [mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} [/mm] = arctan x
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Do 18.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Folgern sie aus [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] arctan x = [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm]
> folgende Identität: arctan x = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}[/mm]
> (x [mm]\in[/mm] ]-1,1[).
> Da die Potenzreihe für |x|<1 glm. konvergiert, kann ich
> sie gliedweise differenzieren. Also:
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1})'[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}*2n+1*x^{2n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^{2n}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n.[/mm]
>
> Da |x|<1 folgt hier nach der geometrischen Reihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm]
> Insgesamt folgt also: [mm](\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1})'[/mm]
> = (arctan x)' [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}[/mm]
> = arctan x
Es fehlt noch was. aus [mm] $(\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1})' [/mm] = (arctan x)' $ folgt zunächst "nur": es gibt ein c [mm] \in \IR:
[/mm]
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} [/mm] = arctan x +c$
Zeige nun: c=0
FRED
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> Es fehlt noch was. aus [mm](\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1})' = (arctan x)'[/mm]
> folgt zunächst "nur": es gibt ein c [mm]\in \IR:[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} = arctan x +c[/mm]
>
> Zeige nun: c=0
>
> FRED
Okay, für x=0 gilt: arctan(0)=0 , [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}0^{2n+1}=0 \Rightarrow [/mm] 0=0+c [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
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> > Es fehlt noch was. aus [mm](\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1})' = (arctan x)'[/mm]
> > folgt zunächst "nur": es gibt ein c [mm]\in \IR:[/mm]
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} = arctan x +c[/mm]
>
> >
> > Zeige nun: c=0
> >
> > FRED
>
> Okay, für x=0 gilt: arctan(0)=0 , [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}0^{2n+1}=0 \Rightarrow[/mm]
> 0=0+c [mm]\Rightarrow[/mm] c=0
Hallo,
ja, genau.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | b) Zeigen Sie: [mm] \pi/4 [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1} [/mm] |
arctan x = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} \gdw [/mm] arctan (1) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}1^{2n+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1} \gdw \pi/4 [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}
[/mm]
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> b) Zeigen Sie: [mm]\pi/4[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}[/mm]
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> arctan x = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} \gdw[/mm]
> arctan (1) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}1^{2n+1}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1} \gdw \pi/4[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}[/mm]
Hallo, diese Äquivalenz gilt sicher nicht:
> arctan x = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} \gdw[/mm] arctan (1) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n+1}1^{2n+1}[/mm] ,
aber ansonsten ist es richtig.
Gruß v. Angela
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