Beweis des komplexen Log < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man beweise für |z|<1 , z [mm] \varepsilon \IC [/mm] folgende Aussagen
a: log(1+z)= [mm] \summe_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n +1} \bruch{z^{n}}{n} [/mm]
b: [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] log(1-z))^{2} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{ \infty } \bruch{s_{n}}{n+1} z^{n+1} [/mm] , wobei [mm] s_{n} :=\summe_{i=1}^{ n} \bruch{1}{k}, [/mm] n [mm] \varepsilon \IN [/mm] und log den Hauptwert des Logarithmus bezeichnet
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Hallo, kann mir dabei jmd helfen. Habe nicht wirklich Ahnung von den komplexen Zahlen :-(
lg
die herzhafte Fischsuppe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Fr 10.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man beweise für |z|<1 , z [mm]\varepsilon \IC[/mm] folgende
> Aussagen
>
> a: log(1+z)= [mm]\summe_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n +1} \bruch{z^{n}}{n}[/mm]
Sagt dir Potenzreihenentwicklung/Taylorreihenentwicklung was? Wende sie doch einfach mal an...
> b: [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( [mm]log(1-z))^{2}[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{ \infty } \bruch{s_{n}}{n+1} z^{n+1}[/mm]
> , wobei [mm]s_{n} :=\summe_{i=1}^{ n} \bruch{1}{k},[/mm] n
> [mm]\varepsilon \IN[/mm] und log den Hauptwert des Logarithmus
> bezeichnet
Das soll ebenfalls fuer $|z| < 1$ gelten, oder? Benutze doch erstmal (a), um [mm] $\log(1 [/mm] - z)$ als Potenzreihe hinzuschreiben. Und dann benutze doch mal das Cauchy-Produkt. Kommst du damit weiter?
LG Felix
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