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| Aufgabe | Es sei die reellle Funktion f : [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch
f(x) := 10x + 3 falls x [mm] \in \mathbb{Q}
[/mm]
f(x) := [mm] x^{2} [/mm] - 8 falls x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] \ [mm] \mathbb{Q}
[/mm]
a) In welchen Punkten ist f stetig ?
b) Bestimmen Sie, wenn möglich, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) und [mm] \limes_{n\rightarrow -\infty} [/mm] |
Hallo,
Ich fange gerade an mich so langsam auf die Klausuren vorzubereiten und wollte nur mal wissen ob ich die Aufgabe soweit richtig gelöst hätte. Ich hab mir zwar jede Menge Aufgaben zum lernen besorgt, aber falls jemand Links zu Aufgabensammlungen mit Lösungen kennt zu den Themen : Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Extrema(Auch mehrerer Veränderlicher) wäre ich dankbar.
Ich hab jetzt zunächst die theoretischen "Schnittpunkte" der beiden Funktionen mit Gleichsetzen ausgerechnet und -1 und 11 rausbekommen. Da ich davon ausgehe, dass zwischen zwei rationalen immer eine irrationale und zwischen zwei irrationalen immer eine rationale zahl liegt, dachte ich das beide Funktionen als Berührpunkte ganz [mm] \|R [/mm] haben. Mit dem [mm] \epsilon \delta [/mm] Kriterium hab ich dann versucht die Grenzwerte z.B. an der Stelle 11 zu beweisen:
Funktion für rationale Zahlen:
[mm] \epsilon [/mm] > |f(x) - f(11)| = |10x - 110| = 10 * |x - 11|
[mm] \delta [/mm] > |x - 11| = [mm] \frac{\epsilon}{10}
[/mm]
Funktion für irrationale Zahlen:
[mm] \epsilon [/mm] > |f(x) - f(11)| = [mm] |x^{2} [/mm] - 121|
[mm] \delta [/mm] > |x - 11| , da [mm] \epsilon [/mm] > [mm] |x^{2} [/mm] - 121| > |x-11| [mm] \Rightarrow [/mm] erfüllt für [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
analog für -1...
Damit hätte ich bewiesen, dass die Grenzwerte existieren und damit auch gleich die Stetigkeit in den Punkten ?
Wäre schön wenn mir jemand sagen könnte, ob das so richtig ist, bzw. wie ich richtig und möglichst geschickt vorgehen sollte.
Bei der b) haben beide Funktionen, ja jeweils den uneigentlichen Grenzwert [mm] +\infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] würde das als begründung für die Existenz reichen ?
Vielen Dank im Voraus !
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mi 18.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Es sei die reellle Funktion f : [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert
> durch
>
> f(x) := 10x + 3 falls x [mm]\in \mathbb{Q}[/mm]
> f(x) := [mm]x^{2}[/mm] - 8
> falls x [mm]\in \mathbb{R}[/mm] \ [mm]\mathbb{Q}[/mm]
>
> a) In welchen Punkten ist f stetig ?
> b) Bestimmen Sie, wenn möglich,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x) und [mm]\limes_{n\rightarrow -\infty}[/mm]
>
> Hallo,
> Ich fange gerade an mich so langsam auf die Klausuren
> vorzubereiten und wollte nur mal wissen ob ich die Aufgabe
> soweit richtig gelöst hätte. Ich hab mir zwar jede Menge
> Aufgaben zum lernen besorgt, aber falls jemand Links zu
> Aufgabensammlungen mit Lösungen kennt zu den Themen :
> Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Extrema(Auch mehrerer
> Veränderlicher) wäre ich dankbar.
>
> Ich hab jetzt zunächst die theoretischen "Schnittpunkte"
> der beiden Funktionen mit Gleichsetzen ausgerechnet und -1
> und 11 rausbekommen.
Hätte ich auch so gemacht.
> Da ich davon ausgehe, dass zwischen
> zwei rationalen immer eine irrationale und zwischen zwei
> irrationalen immer eine rationale zahl liegt, dachte ich
> das beide Funktionen als Berührpunkte ganz [mm]\|R[/mm] haben. Mit
> dem [mm]\epsilon \delta[/mm] Kriterium hab ich dann versucht die
> Grenzwerte z.B. an der Stelle 11 zu beweisen:
> Funktion für rationale Zahlen:
> [mm]\epsilon[/mm] > |f(x) - f(11)| = |10x - 110| = 10 * |x - 11|
> [mm]\delta[/mm] > |x - 11| = [mm]\frac{\epsilon}{10}[/mm]
> Funktion für irrationale Zahlen:
> [mm]\epsilon[/mm] > |f(x) - f(11)| = [mm]|x^{2}[/mm] - 121|
> [mm]\delta[/mm] > |x - 11| , da [mm]\epsilon[/mm] > [mm]|x^{2}[/mm] - 121| > |x-11|
> [mm]\Rightarrow[/mm] erfüllt für [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon[/mm]
>
> analog für -1...
> Damit hätte ich bewiesen, dass die Grenzwerte existieren
> und damit auch gleich die Stetigkeit in den Punkten ?
>
> Wäre schön wenn mir jemand sagen könnte, ob das so richtig
> ist, bzw. wie ich richtig und möglichst geschickt vorgehen
> sollte.
>
> Bei der b) haben beide Funktionen, ja jeweils den
> uneigentlichen Grenzwert [mm]+\infty[/mm] bzw. [mm]-\infty[/mm] würde das als
> begründung für die Existenz reichen ?
Der Grenzwert gegen [mm] -\infty [/mm] existiert nicht! [mm] (x^2-8 [/mm] geht dabei gegen [mm] +\infty [/mm] , während 10x+3 gegen [mm] -\infty [/mm] läuft.)
Gruß Abakus
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> Vielen Dank im Voraus !
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