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Forum "Differentiation" - Beweis der Kettenregel
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Beweis der Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Mo 09.07.2012
Autor: B-Ball

Aufgabe
Es geht darum die Kettenregel zu beweisen:
Seien [mm] g:D_g\rightarrow \IR[/mm] und [mm] f:D_f\rightarrow D_g\subset\IR[/mm] stetige Funktionen. Die Funktion [mm]f[/mm] sei im Punkt [mm]x_0\in D_f[/mm] differenzierbar und [mm]g[/mm] sei in [mm]y_0=f(x_0)[/mm] differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Funktion [mm]g\circ f[/mm] in [mm]x_0[/mm] differenzierbar und es gilt die sog. Kettenregel:
[mm](g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0)[/mm]

Der Beweis soll allerdings mit Hilfe der Darstellung der Ableitung über die lineare Approximation erfolgen, d.h. eine Funktion [mm]f:D\rightarrow \IR[/mm] ist genau dann differenzierbar in einem Punkt [mm]x_0\in D[/mm], wenn es eine Funktion [mm]\omega: D\rightarrow \IR[/mm] mit [mm]\lim_{x\in D, x\to x_0}\bruch{\omega(x)}{x-x_0}[/mm] und eine Zahl [mm]c\in\IR[/mm] gibt, sodass gilt:
[mm]f(x)=f(x_0)+c*(x-x_0)+\omega(x)[/mm]. In diesem Fall ist [mm]c=f'(x_0)[/mm].

So ich habe mir das nun so gedacht:
Da [mm]f[/mm] differenzierbar in [mm]x_0[/mm] und [mm]g[/mm] differenzierbar in [mm] y_0=f(x_0)[/mm] gilt:
[mm]f(x)=f(x_0)+c*(x-x_0)+\omega_f(x)[/mm] mit einer Funktion [mm]\omega_f:D_f\rightarrow D_g[/mm] für die gilt [mm]\lim_{x\in D_f, x\to x_0}\bruch{\omega_f(x)}{x-x_0}[/mm]. In diesem Fall ist [mm]c=f'(x_0)[/mm].
[mm]g(y)=g(y_0)+d*(y-y_0)+\omega_g(y)[/mm] mit einer Funktion [mm]\omega_g:D_g\rightarrow \IR[/mm] für die gilt [mm]\lim_{y\in D_g, y\to y_0}\bruch{\omega_g(y)}{y-y_0}[/mm]. In diesem Fall ist [mm]d=g'(y_0)[/mm].

Folglich gilt:
[mm]g\circ f=g(f(x))=g(fx_0))+d*(f(x)-f(x_0))+\omega_g(f(x)) = g(f(x_0))+d*(f(x_0)+c*(x-x_0)+\omega_f(x)-f(x_0))+\omega_g(f(x))=g(f(x_0))+c*d*(x-x_0)+d*\omega_f(x)+\omega_g(f(x))[/mm]
Definiere: [mm]\omega(x):=d*\omega_f(x)+\omega_g(f(x))[/mm]
[mm]\Rightarrow g\circ f=g(f(x_0))+c*d*(x-x_0)+\omega(x)[/mm]

Es bleibt also zu zeigen, dass [mm]\lim_{x\in D_f, x\to x_0}\bruch{\omega(x)}{x-x_0}=0[/mm]
[mm]\lim_{x\in D_f, x\to x_0}\bruch{\omega(x)}{x-x_0}=d*\lim_{x\in D_f, x\to x_0}\bruch{\omega_f(x)}{x-x_0}+\lim_{x\in D_f, x\to x_0}\bruch{\omega_g(f(x))}{x-x_0}[/mm]
Der erste Limes ist nach den Voraussetzungen Null. Für den zweiten Limes habe ich mir folgendes gedacht:
Die Funktion [mm]\omega_g[/mm] lässt sich schreiben als: [mm]\omega_g(y)=(y-y_0)*r(y)[/mm] mit einer stetigen Funktion [mm]r:D_g\rightarrow \IR[/mm] mit [mm]r(y_0)=0[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm]\lim_{x\in D_f, x\ to x_0}\bruch{\omega_g(f(x))}{x-x_0}=\lim_{x\in D_f, x\to x_0}\bruch{(f(x)-f(x_0))*r(f(x))}{x-x_0}=0[/mm]
(da sowohl f als auch r stetig sind und somit [mm]\lim_{x\to x_0}r(f(x))=r(f(x_0))=r(y_0)=0[/mm] nach Voraussetzung).

Damit gilt für das gesamte Restglied [mm]\lim_{x\in D_f, x\to x_0}\bruch{\omega(x)}{x-x_0}=0[/mm] und somit ist [mm]g\circ f[/mm] differenzierbar mit der Ableitung [mm]c*d=f'(x_0)*g'(f(x_0))[/mm].

Stimmt das so?!?! Vor allem die Stelle an der die Funktion r eingeführt wird! Kann man das so machen??

Viele Dank
B-Ball

        
Bezug
Beweis der Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Mo 09.07.2012
Autor: SEcki


> (da sowohl f als auch r stetig sind und somit [mm]\lim_{x\to x_0}r(f(x))=r(f(x_0))=r(y_0)=0[/mm]
> nach Voraussetzung).

Du musst noch einmal die Diff'barkeit von f für den ersten Faktor verwenden.

> Stimmt das so?!?! Vor allem die Stelle an der die Funktion
> r eingeführt wird! Kann man das so machen??

Ja.

SEcki


Bezug
        
Bezug
Beweis der Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:03 Di 10.07.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Es geht darum die Kettenregel zu beweisen:
>  Seien [mm]g:D_g\rightarrow \IR[/mm] und [mm]f:D_f\rightarrow D_g\subset\IR[/mm]
> stetige Funktionen. Die Funktion [mm]f[/mm] sei im Punkt [mm]x_0\in D_f[/mm]
> differenzierbar und [mm]g[/mm] sei in [mm]y_0=f(x_0)[/mm] differenzierbar.
> Dann ist die zusammengesetzte Funktion [mm]g\circ f[/mm] in [mm]x_0[/mm]
> differenzierbar und es gilt die sog. Kettenregel:
>  [mm](g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0)[/mm]
>  Der Beweis soll
> allerdings mit Hilfe der Darstellung der Ableitung über
> die lineare Approximation erfolgen, d.h. eine Funktion
> [mm]f:D\rightarrow \IR[/mm] ist genau dann differenzierbar in einem
> Punkt [mm]x_0\in D[/mm], wenn es eine Funktion [mm]\omega: D\rightarrow \IR[/mm]
> mit [mm]\lim_{x\in D, x\to x_0}\bruch{\omega(x)}{x-x_0}[/mm] und
> eine Zahl [mm]c\in\IR[/mm] gibt, sodass gilt:
>  [mm]f(x)=f(x_0)+c*(x-x_0)+\omega(x)[/mm]. In diesem Fall ist
> [mm]c=f'(x_0)[/mm].
>  
> So ich habe mir das nun so gedacht:
>  Da [mm]f[/mm] differenzierbar in [mm]x_0[/mm] und [mm]g[/mm] differenzierbar in
> [mm]y_0=f(x_0)[/mm] gilt:
>  [mm]f(x)=f(x_0)+c*(x-x_0)+\omega_f(x)[/mm] mit einer Funktion
> [mm]\omega_f:D_f\rightarrow D_g[/mm] für die gilt [mm]\lim_{x\in D_f, x\to x_0}\bruch{\omega_f(x)}{x-x_0}[/mm].

da fehlt was: Ich meine, zu sagen, es gilt [mm] $\lim_{n \to \infty}(1/n)$ [/mm] ist auch keine Aussage - da fehlt ein [mm] $\red{\text{=0}}\,,$ [/mm] denke ich.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Beweis der Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 Di 10.07.2012
Autor: B-Ball

oh ja da hast du Recht! Das ist mit beim Durchlesen gar nicht aufgefallen, aber da muss natürlich ein =0 stehen. Sonst macht der Satz den man verwendet ja keinen Sinn... ;)


Gruß

Bezug
                        
Bezug
Beweis der Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Di 26.02.2013
Autor: quasimo

Ich hoffe es ist möglich ganz frech in dem alten Thread eine Frage zu stellen, vlt. kann mir sie ja der threadsteller oder wer anderer beantworten.

> Die Funktion $ [mm] \omega_g [/mm] $ lässt sich schreiben als: $ [mm] \omega_g(y)=(y-y_0)\cdot{}r(y) [/mm] $ mit einer stetigen Funktion $ [mm] r:D_g\rightarrow \IR [/mm] $ mit $ [mm] r(y_0)=0 [/mm] $

Wieso lässt sich diese so schreiben??

> $ [mm] g(y)=g(y_0)+d\cdot{}(y-y_0)+\omega_g(y) [/mm] $

also [mm] \omega_g [/mm] (y)= g(y)- [mm] g(y_0) [/mm] - [mm] d\cdot{}(y-y_0) [/mm]
Wie kommst du da auf die obige darstellung?

Bezug
                                
Bezug
Beweis der Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Di 26.02.2013
Autor: M.Rex

Hallo


> Ich hoffe es ist möglich ganz frech in dem alten Thread
> eine Frage zu stellen, vlt. kann mir sie ja der
> threadsteller oder wer anderer beantworten.

Das ist ok.

>  
> > Die Funktion [mm]\omega_g[/mm] lässt sich schreiben als:
> [mm]\omega_g(y)=(y-y_0)\cdot{}r(y)[/mm] mit einer stetigen Funktion
> [mm]r:D_g\rightarrow \IR[/mm] mit [mm]r(y_0)=0[/mm]

Hier sollte [mm] r(y_0)\ne0 [/mm] stehen, das ist eine andere Definition für eine differenzierbare Funktion.

>  Wieso lässt sich diese so schreiben??
>  > [mm]g(y)=g(y_0)+d\cdot{}(y-y_0)+\omega_g(y)[/mm]

>  also [mm]\omega_g[/mm] (y)= g(y)- [mm]g(y_0)[/mm] - [mm]d\cdot{}(y-y_0)[/mm]

Das ist dann nur ein ganz bisschen Umformen der Gleichung.

>  Wie kommst du da auf die obige darstellung?

Marius


Bezug
                                        
Bezug
Beweis der Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 So 03.03.2013
Autor: quasimo

Hallo
Ich sehe leider noch immer nicht wie aus:
$ [mm] \omega_g [/mm] $ (y)= g(y)- $ [mm] g(y_0) [/mm] $ - $ [mm] d\cdot{}(y-y_0) [/mm] $
folgt: > Die Funktion $ [mm] \omega_g [/mm] $ lässt sich schreiben als:

> $ [mm] \omega_g(y)=(y-y_0)\cdot{}r(y) [/mm] $ mit einer stetigen Funktion
> $ [mm] r:D_g\rightarrow \IR [/mm] $ mit $ [mm] r(y_0)=0 [/mm] $

sry,

LG


Bezug
                                                
Bezug
Beweis der Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 So 03.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Hallo
>  Ich sehe leider noch immer nicht wie aus:
>  [mm]\omega_g[/mm] (y)= g(y)- [mm]g(y_0)[/mm] - [mm]d\cdot{}(y-y_0)[/mm]
>  folgt:

> Die Funktion [mm]\omega_g[/mm] lässt sich schreiben als:
>  > [mm]\omega_g(y)=(y-y_0)\cdot{}r(y)[/mm] mit einer stetigen

> Funktion
>  > [mm]r:D_g\rightarrow \IR[/mm] mit [mm]r(y_0)=0[/mm]

Das lässt sich nicht daraus folgern.
Das wird alles noch aus der Differenzierbarkeit von $g$ in [mm] $y_0$ [/mm] geholt. Siehe allererster Post:

" g differenzierbar in [mm] $y_0$ $\Rightarrow$ $g(y)=g(y_0)+d*(y-y_0)+\omega_g(y)$ [/mm] mit einer Funktion [mm] $\omega_g:D_g\rightarrow \IR$ [/mm] für die gilt [mm] $\lim_{y\in D_g, y\to y_0}\bruch{\omega_g(y)}{y-y_0} [/mm] = 0$. In diesem Fall ist [mm] $d=g'(y_0)$. [/mm] "

Das heißt man weiß, dass die Funktion [mm] $\omega_g$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $\lim_{y\in D_g, y\to y_0}\bruch{\omega_g(y)}{y-y_0} [/mm] = 0$   (*)  hat.

Wenn man $r(y)$ definiert als

r(y) := [mm] \begin{cases} \bruch{\omega_g(y)}{y-y_0}, & y\not= y_0\\ 0, & y = y_0 \end{cases}$, [/mm]

dann gilt für diese [mm] $r(y_0) [/mm] = 0$ und r ist stetig in [mm] $y_0$ [/mm] eben wegen (*).

  
Viele Grüße,
Stefan

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Bezug
Beweis der Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:42 So 03.03.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo
>  
>
> > Ich hoffe es ist möglich ganz frech in dem alten Thread
> > eine Frage zu stellen, vlt. kann mir sie ja der
> > threadsteller oder wer anderer beantworten.
>  
> Das ist ok.
>  
> >  

> > > Die Funktion [mm]\omega_g[/mm] lässt sich schreiben als:
> > [mm]\omega_g(y)=(y-y_0)\cdot{}r(y)[/mm] mit einer stetigen Funktion
> > [mm]r:D_g\rightarrow \IR[/mm] mit [mm]r(y_0)=0[/mm]
>  
> Hier sollte [mm]r(y_0)\ne0[/mm] stehen,...

wieso? Das passt aucb nicht zu dem, was Steppenhahn schreibt...

> ...das ist eine andere
> Definition für eine differenzierbare Funktion.

Diese Begründung wär' mir zu wenig: Eine "andere" Definition kann man
ja nicht einfach mal hernehmen, bis man das hat, was man haben will.
Eine Definition durch eine andere zu ersetzen ist eigtl. nur dann erlaubt,
wenn unter den gegebenen Voraussetzungen die beiden Definitionen
äquivalent sind. Du solltest hier also anstatt "Definition" vllt. besser das
Wort "Charakterisierung" verwenden: "Das ist eine Charakterisierung der
Definition des Begriffes "diff'bare Funktion"." Wobei ich zugebe, dass meine
Sprache hier auch besser sein könnte...
  

> >  Wieso lässt sich diese so schreiben??

>  >  > [mm]g(y)=g(y_0)+d\cdot{}(y-y_0)+\omega_g(y)[/mm]

>  >  also [mm]\omega_g[/mm] (y)= g(y)- [mm]g(y_0)[/mm] - [mm]d\cdot{}(y-y_0)[/mm]
>  
> Das ist dann nur ein ganz bisschen Umformen der Gleichung.
>  
> >  Wie kommst du da auf die obige darstellung?

>
> Marius
>  

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Beweis der Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Mo 04.03.2013
Autor: HJKweseleit

Wenn f in [mm] x_0 [/mm] diffbar ist, gilt

$ [mm] f(x)=f(x_0)+c\cdot{}(x-x_0)+\omega(x) [/mm] $

mit den bekannten Eigenschaften für [mm] \omega. [/mm] Dabei ist c = [mm] f'(x_0). [/mm]


Wenn g in [mm] y_0 [/mm] diffbar ist, gilt

$ [mm] g(y)=g(y_0)+k\cdot{}(y-y_0)+\Omega(y) [/mm] $

mit den bekannten Eigenschaften für [mm] \Omega. [/mm] Dabei ist k = [mm] g'(y_0). [/mm]

Somit ist
  [mm] $g(y)=g(y_0)+k\cdot{}(y-y_0)+\Omega(y) [/mm] $
      [mm] =g(y_0)+k\cdot{}(f(x)-y_0)+\Omega(f(x)) [/mm]
      [mm] =g(y_0)+k\cdot{}(f(x_0)+c\cdot{}(x-x_0)+\omega(x)-y_0)+\Omega(f(x)) [/mm]
      [mm] =g(y_0)+k\cdot{}(y_0+c\cdot{}(x-x_0)+\omega(x)-y_0)+\Omega(f(x)) [/mm]
      [mm] =g(y_0)+k\cdot{}(c\cdot{}(x-x_0)+\omega(x))+\Omega(f(x)) [/mm]
      [mm] =g(y_0)+k\cdot{}(c\cdot{}(x-x_0)+\omega(x))+\Omega(f(x)) [/mm]
      [mm] =g(y_0)+k\cdot{}c\cdot{}(x-x_0)+k\cdot{}\omega(x)+\Omega(f(x)). [/mm]

Nun muss man nur noch überlegen, dass mit x gegen [mm] x_0 [/mm] auch [mm] k\cdot{}\omega(x)+\Omega(y) [/mm] nach 0 geht...




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