Beweis der Irrationalität v.e < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 So 25.05.2008 | | Autor: | mAriA121 |
Hallo,
ich soll beweisen das e irrational ist ( auf der Grundlage von Klassische elementare Analysis" von Max Köcher (Kap.4 §4)).
Das ist auch kein größeres Problem, jedoch schaffe ich es nicht den ersten Hilfssatz den ich dazu benötige zu beweisen.
Ich soll durch Induktion (nach n??) zeigen, das die Polynome
p(x):= 1/n! * [mm] x^n [/mm] * [mm] (a-bx)^n [/mm] und alle ihre Ableitungen an der Stelle 0 und a/b ganzzahlig ist (a,b,n aus den natürlichen Zahlen)
Ich kann es für p(x) zeigen und auch für die ersten Ableitungen, jedoch nur indem ich sie immer direkt berechne.
Wie kann ich zeigen das jede Ableitung von p(x) ganzzahlig sein muss?
Ich habe versucht eine allgemeine Formel für die Ableitungen (also für n- Ableitungen) zu finden um diese dann ein weiteres mal zu differenzieren, aber leider hat dies auch nicht funktioniert.
Ich hoffe ich konnte mein Problem verständlich ausdrücken und dass mir jemand einen Ansatz zur behebung meine Problems geben kann.
Danke schon im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich fürchte, mit "dieser Art" von Ableiten wirst du nicht weiterkommen. Wenn du immer mit den Produkten zu kämpfen hast, wächst der Term ins endlose.
Mein Tipp: Versuche mal das zweite Produkt mit dem binomischen Satz (den ihr sicher hattet) umzuformen und das [mm] \bruch{x^{n}}{n!} [/mm] danach in die entstehende Summe reinzuziehen. Dann hast du es nämlich nur noch mit einer Summe zu tun, die du leicht ableiten kannst und dann sicher auch für alle n zeigen kannst, dass deine Behauptung gilt. Ich bilde dir mal die Summe:
[mm]\bruch{x^{n}}{n!}*(a-b*x)^{n}[/mm]
[mm]= \bruch{x^{n}}{n!}*\summe_{k=0}^{n}\left(\vektor{n \\ k}*a^k*(-b*x)^{n-k}\right)[/mm]
[mm]= \bruch{x^{n}}{n!}*\summe_{k=0}^{n}\left(\vektor{n \\ k}*a^k*(-b)^{n}*(-b)^{-k}*x^{n-k}\right)[/mm]
[mm]= \bruch{(-b)^{n}}{n!}*\summe_{k=0}^{n}\left(\vektor{n \\ k}*\left(\bruch{a}{b}\right)^k*x^{2n-k}\right)[/mm]
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müsste es in der letzten Zeile nicht [mm] (-a/b)^k [/mm] in der Reihe heißen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mo 26.05.2008 | | Autor: | mAriA121 |
Ich glaube den Hinweis mit dem binomischen Lehrsatz kann ich gut verwenden, wenn ich jedoch die Reihe nach x differenziere hab ich doch wieder das gleich Problem wie vorher, dass der Thermunendlich anwächst.
Und warum wurde der Hinweis mit der Induktion nach n gegeben?
Ich befürchte ich habe noch nciht so ganz verstanden wie ich das anstellen soll :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mi 28.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Mo 26.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich soll beweisen das e irrational ist ( auf der Grundlage
> von Klassische elementare Analysis" von Max Köcher (Kap.4
> §4)).
> Das ist auch kein größeres Problem, jedoch schaffe ich es
> nicht den ersten Hilfssatz den ich dazu benötige zu
> beweisen.
> Ich soll durch Induktion (nach n??) zeigen, das die
> Polynome
> p(x):= 1/n! * [mm]x^n[/mm] * [mm](a-bx)^n[/mm] und alle ihre Ableitungen an
> der Stelle 0 und a/b ganzzahlig ist (a,b,n aus den
> natürlichen Zahlen)
Schreiben wir das $p(x)$ doch mal als [mm] $p_n(x)$, [/mm] also [mm] $p_n(x) [/mm] := [mm] \frac{1}{n!} x^n [/mm] (a - b [mm] x)^n$.
[/mm]
Jetzt kannst du [mm] $p_n'(x)$ [/mm] ausrechnen (hast du ja schon getan) und das von der Form [mm] $p_{n-1}(x) \cdot G_n(x)$ [/mm] schreiben, wobei [mm] $G_n(x)$ [/mm] ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten in $x$ ist.
Wenn du [mm] $p_n'(x) [/mm] = [mm] p_{n-1}(x) G_n(x)$ [/mm] ableitest, bekommst du [mm] $p_{n-1}'(x) G_n(x) [/mm] + [mm] p_{n-1}(x) H_n(x)$ [/mm] mit einem Polynom [mm] $H_n(x)$ [/mm] mit ganzzahligen Koeffizienten. Das [mm] $p_{n-1}'(x)$ [/mm] kannst du wieder durch die obige Formel durch [mm] $p_{n-2}(x) G_{n-1}(x)$ [/mm] ersetzen.
In dieser Form siehst du sofort: wenn du $0$ oder $a/b$ einsetzt, kommt etwas ganzzahliges raus (naemlich 0). Ausser wenn du oft genug abgeleitet hast.
Wie du jetzt mit dem Spezialfall ``oft genug abgeleitet'' umgehst, musst du selber rausfinden. (Tipp: probier's doch mal fuer $n = 2$ oder so aus.)
LG Felix
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