Beweis der Injektivität < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]f_\lambda:[-\pi, \pi] \mapsto \IR^2 f_\lambda(t)=(t-\lambda sin(t), \lambda cos(t))[/mm].
Zeige, dass für [mm] 0 \leq \lambda \leq 1 [/mm] die Abbildung injektiv ist.
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Hallo,
hier mein Ansatz:
Ich habe zu zeigen, dass für zwei t, t' aus dem Definitionsbereich aus f(t)=f(t') folgt, dass t=t'.
Für die zweite Komponentenfunktion muss damit gelten
[mm]\lambda cos(t) = \lambda cos(t')[/mm]
Aufgrund des Definitionsbereichs folgt gleich: t'=-t oder t'=t.
Ich würde also ersteres Annehmen und zeigen, dass dann aber
[mm]t-\lambda sin(t) = t'-\lambda sin(t') \gdw t-\lambda sin(t) = -t-\lambda sin(-t)[/mm]
mit dem angegebenen Lambda nicht lösbar ist. Da hänge ich leider seit Stunden :(
Wenn jemand von Euch einen Tipp hat, wäre ich sehr dankbar!!!
Herzlichen Dank an alle, die sich die Zeit nehmen, mir zu helfen!
Beste Grüße,
Dennis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dennis,
stelle die Gleichung einfach um, unter Benutzung von sin(-t) = -sin(t).
Dann kommst du auf eine Gleichung, die offensichtlich nicht für alle t aus deinem Intervall gilt :)
MfG,
Gono.
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Hallo Gono,
vielen Dank für Deine Antwort!
Der Tipp war schon ganz gut, damit habe ich auch gerade schon ein wenig probiert.
Man kommt dan schön auf
[mm]t=\lambda sin(t)[/mm]
Es kommt aber nun nicht darauf an, zu zeigen, dass das nicht für alle gilt, sondern für kein t (mit entsprechender Annahme über Lambda). Ich hatte t und t' ja so gewählt, dass f(t)=f(t').
Ich glaube, ich argumentiere jetzt irgendwie über die Ableitung von sin'(t)=cos(t) <= 1, dass das ausgedrückte Grössenverhältnis für 0<lambda<1 nicht sein kann und mache für lambda=0 und lambda=1 noch eine Sonderbetrachtung.
Oder hat noch wer eine charmantere Idee? 
Danke an alle!
Dennis
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Hm,
allerdings würde ich spontan behaupten, dass es so ein t gibt, für dass dann [mm]t = \lambda sin(t)[/mm] gilt..... das liefert dir recht fix der Zwischenwertsatz.
Betrachte [mm]f(t) = t- \lambda sin(t)[/mm]
[mm] f(-\pi) [/mm] < 0, [mm] f(\pi) [/mm] > 0, d.h es gibt nen t, so dass f(t) = 0....
MfG,
Gono.
edit: Das kannst du auch direkt nachrechnen.
Nehme t' = -t und wähle t so, dass t = [mm] \lambda [/mm] sin(t) gilt (warum es das gibt, siehe oben), dann gilt f(t') = f(t), ergo f nicht injektiv.
Ausnahme ist nur [mm] \lambda [/mm] = 0.
MfG,
Gono.
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