Beweis, dass G eine Gruppe ist < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:02 Mi 08.11.2006 | | Autor: | peter_d |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | $\text{Sei } G = \{(a,b)\in\mathbb{Z}^2\ |\ a+b\text{ ungerade.}$
$\text{Die Verknüpfung }*:G\times G \toG \text{ sei definiert durch:}$
$(c,d)*(a,b) = \begin{cases} (c+a,d+b-1), & \text{falls a gerade} \\ (d+a-1,c+b), & \text{falls a ungerade} \end{cases}$
$\text{Beweisen Sie, dass }$(G,*)$\text{ eine Gruppe ist. Ist G kommutativ?}$ |
Hallo Leute.
Mein Problem sind jetzt diese Fallunterscheidungen von a.
Wie soll ich da Assoziativität nachzeigen?
Das neutrale Element sollte(0,1) sein.
Das inverse Element sollte (-a, 2-b) [a gerade] und (-b,2-a) [a ungerade].
Kann das sein? Denn eigentlich gibt es in einer Gruppe ja nur ein inverses und ein neutrales Element...
Hoffe auf Hilfe.
Danke
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Hallo [mm] peter_d,
[/mm]
> Sei [mm]G = \{(a,b)\in\mathbb{Z}^2\ | a+b\text{ ungerade.}[/mm]
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> Die Verknüpfung [mm]*: G\times G \to G[/mm] sei definiert durch: >
> [mm](c,d)*(a,b) = \begin{cases} (c+a,d+b-1), & \text{falls a gerade} \\ (d+a-1,c+b), & \text{falls a ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass [mm](G,*)[/mm] eine Gruppe ist. Ist G kommutativ?
>
> Hallo Leute.
>
> Mein Problem sind jetzt diese Fallunterscheidungen von a.
> Wie soll ich da Assoziativität nachzeigen?
Sind [mm](a,b),(c,d),(e,f) \in G[/mm] gegeben; dann brauchst Du nur die Fälle "c ungerade" und "c gerade" zu unterscheiden und jeweils die Gleichheit von [mm](e,f)*((c,d)*(a,b))[/mm] und [mm]((e,f)*(c,d))*(a,b)[/mm] getrennt zu zeigen - fertig.
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> Das neutrale Element sollte(0,1) sein.
>
> Das inverse Element sollte (-a, 2-b) [a gerade] und
> (-b,2-a) [a ungerade].
> Kann das sein? Denn eigentlich gibt es in einer Gruppe ja
> nur ein inverses und ein neutrales Element...
Aber wo ist da der Widerspruch? Du bekommst ja auch zwei verschiedene Elemente, je nachdem ob $a$ ungerade bzw. gerade ist  .
Mfg
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 10.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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