Beweis a² ungleich n (aEZ)-> < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 22.10.2009 | | Autor: | den9ts |
| Aufgabe | | Beweisen Sie unter Voraussetzung der eindeutigen Primfaktorzerlegung: Sei n eine natürliche Zahl, die kein Quadrat ist (d.h. es gibt keine natürliche Zahl a mit a²=n). Dann gibt es auch keine rationale Zahl x mit x²=n |
Hi, bräuchte bei der Aufgabe wohl mal etwas Unterstützung, weils mit Beweisen bei mir noch ziemlich harpert... :<
bisher hab ich so angefangen, aber hab kein Plan wohin das ganze führen soll ...
Behauptung: [mm] \wurzel{n}\not= [/mm] a [mm] \rightarrow \wurzel{n}\not= [/mm] x
Vor.: a, n, c,d [mm] \in \IZ; [/mm] x [mm] \in \IQ; c\not=d [/mm]
Bew.: (durch Widerspruch)
a²=n [mm] \rightarrow [/mm] x²=n [mm] \gdw a=\wurzel{n} \rightarrow \bruch{c}{d}=\wurzel{n} \rightarrow a=\bruch{c}{d} \rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] Z kann als rationale Zahl dargestellt werden [mm] \rightarrow [/mm] widerspruch zur voraussetzung [mm] \rightarrow [/mm] annahme ist falsch, daher ist behauptung wahr
so hätt ich das jetzt aufgeschrieben, während ich das hier reinschrieb.
auf meinem zettel hab ich allmögliche ganze zahlen durch verschiedene [mm] p_i^{m_i}*{p_i{_2}}^{m_i{_2}} [/mm] dargestellt, was mich zu garnichts brachte...
is der beweis oben logisch und richtig oder muss ich das wirklich irgendwie durch primfaktorzerlegung beweisen?
danke..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Beweisen Sie unter Voraussetzung der eindeutigen
> Primfaktorzerlegung: Sei n eine natürliche Zahl, die kein
> Quadrat ist (d.h. es gibt keine natürliche Zahl a mit
> a²=n). Dann gibt es auch keine rationale Zahl x mit x²=n
> Hi, bräuchte bei der Aufgabe wohl mal etwas
> Unterstützung, weils mit Beweisen bei mir noch ziemlich
> harpert... :<
>
> bisher hab ich so angefangen, aber hab kein Plan wohin das
> ganze führen soll ...
>
> Behauptung: [mm]\wurzel{n}\not=[/mm] a [mm]\rightarrow \wurzel{n}\not=[/mm] x
Hallo,
Deine Behauptung stimmt nicht - bzw.: sie ist unverständlich.
Wir versuchen jetzt mal, den Aufgabentext peu à peu zu übersetzen:
> Sei n eine natürliche Zahl,
Sei [mm] n\in \IN
[/mm]
> die kein
> Quadrat ist (d.h. es gibt keine natürliche Zahl a mit
> a²=n).
mit [mm] n\not=a^2 [/mm] für alle [mm] a\in \IN
[/mm]
> Dann
==>
> gibt es auch keine rationale Zahl x mit x²=n
es ist [mm] x^2 \not=n [/mm] für alle [mm] x\in \IQ,
[/mm]
dh. für alle [mm] p,q\in \IZ [/mm] ist [mm] (\bruch{p}{q})^2\not=n
[/mm]
> Bew.: (durch Widerspruch)
Genau.
Das geht so: Es sei [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] n\not=a^2 [/mm] für alle [mm] a\in \IN.
[/mm]
Und nun kommt die Annahme: angenommen, es gibt eine rationale Zahl x mit [mm] x^2=n
[/mm]
Diese Annahme ist nun zu einem Widerspruch zu führen.
Wenn Du am Ende den Widerspruch hast, dann weißt Du, daß die Annahme, daß es solch eine rationale Zahl gibt, falsch war.
Also gibt es keine solche rationale Zahl, was zu beweisen war.
Als Starthilfe:
Es sei [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] n\not=a^2 [/mm] für alle [mm] a\in \IN
[/mm]
Angenommen, es gibt eine rationale Zahl x mit [mm] x^2=n.
[/mm]
Dann gibt es [mm] p,q\in \IZ [/mm] mit [mm] x=\bruch{p}{q}.
[/mm]
Wir nehmen an, daß der Bruch vollständig gekürzt ist, also p und q außer der 1 keine gemeinsamen pos. Teiler haben.
==>
es ist [mm] n=\bruch{p^2}{q^2}
[/mm]
==> und nun laß Deine Fantasie spielen und erzeuge einen Widerspruch.
Gruß v. Angela
> a²=n [mm]\rightarrow[/mm] x²=n [mm]\gdw a=\wurzel{n} \rightarrow \bruch{c}{d}=\wurzel{n} \rightarrow a=\bruch{c}{d} \rightarrow[/mm]
> a [mm]\in[/mm] Z kann als rationale Zahl dargestellt werden
> [mm]\rightarrow[/mm] widerspruch zur voraussetzung [mm]\rightarrow[/mm]
> annahme ist falsch, daher ist behauptung wahr
>
>
> so hätt ich das jetzt aufgeschrieben, während ich das
> hier reinschrieb.
> auf meinem zettel hab ich allmögliche ganze zahlen durch
> verschiedene [mm]p_i^{m_i}*{p_i{_2}}^{m_i{_2}}[/mm] dargestellt, was
> mich zu garnichts brachte...
>
> is der beweis oben logisch und richtig oder muss ich das
> wirklich irgendwie durch primfaktorzerlegung beweisen?
>
> danke..
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Do 22.10.2009 | | Autor: | den9ts |
Behauptung: [mm] n\not= a^2 \rightarrow [/mm] n = x²
Vor.: a, n, c,d [mm] \in \IZ; [/mm] x [mm] \in \IQ; c\not=d \wedge \neg\exists z\in\IN: [/mm] z|c [mm] \wedge [/mm] z|d
Bew.: (durch Widerspruch)
Annahme: [mm] \bruch{c^2}{d^2}=x²=n \rightarrow n*d^2=c^2 \rightarrow \wurzel{n*d^2}=c \rightarrow \wurzel{n}*d=c \rightarrow \wurzel{n}\notin \IZ: n\not=a^2 \rightarrow c\notin\IZ:\wurzel{n}*d [/mm] -> Widerspruch zur voraussetzung, dass c [mm] \in\IZ. [/mm] deshalb ist die annahme falsch und die behauptung muss richtig sein
hab das jetzt so bewiesen.. find nur ich das jetzt logisch, oder is das nicht in ordnung so?
stimmen meine behauptung und voraussetzung?
oder sollte ich schreiben:
Behauptung: [mm] \forall n\in\IN, \forall x\in\IQ: n\not= a^2 \rightarrow [/mm] n = x² ?
weil ich muss doch in meiner voraussetzung alle variablen deklarieren, oder?
gruß und danke angela =)
|
|
|
| |
|
> Behauptung: [mm]n\not= a^2
für alle a\in \IN
\rightarrow[/mm] n = x²
???
Hallo,
Du sollst doch zeigen, daß es keine rationae Zahl x gibt, für die [mm] x^2=n [/mm] ist.
> Vor.: a, n, c,d [mm]\in \IZ;[/mm] x [mm]\in \IQ; c\not=d \wedge \neg\exists z\in\IN:[/mm]
> z|c [mm]\wedge[/mm] z|d
Solche ganzen Zahlen c und d, die von keiner gemeinsamen natürlichen Zahl z geteilt werden, wirst Du nicht finden.
> Bew.: (durch Widerspruch)
> Annahme: [mm]\bruch{c^2}{d^2}=x^2=n \rightarrow n*d^2=c^2 \rightarrow \wurzel{n*d^2}=c
1. stimmt es nicht, daß für c,d [mm]\in \IZ[/mm] aus n*d^2=c^2 folgt, daß \wurzel{n*d^2}=c. (was ist, wenn c negativ ist?)
2. habe ich allerärgste Zweifel, daß Euch Wurzeln zur Verfügung stehen? Wurde schon besprochen, was \wurzel{n} ist? Ich denke: nein.
Und wenn nicht mit Tamtam und Tusch die Wurzeln eingeführt sind, kannst Du sie nicht benutzen...
> \rightarrow \wurzel{n}*d=c \rightarrow \wurzel{n}\notin \IZ:
Wenn d=1, dann schon.
> n\not=a^2 \rightarrow c\notin\IZ:\wurzel{n}*d[/mm]
> -> Widerspruch zur voraussetzung, dass c [mm]\in\IZ.[/mm] deshalb
> ist die annahme falsch und die behauptung muss richtig
> sein
>
>
> hab das jetzt so bewiesen..
Irgendwie noch nicht.
Mach doch mal bei [mm] n*d^2=c^2 [/mm] weiter und argumentiere mit Teilbarkeit.
Ein bißchen Vorlage hatte ich Dir doch gegeben, Du kannst das auch dahingehend vereinfachen, daß Du nur [mm] x=\bruch{p}{q} [/mm] mit [mm] p,q\in \IN [/mm] betrachtest statt in [mm] \IZ.
[/mm]
> stimmen meine behauptung und voraussetzung?
Nein.
Die Behauptung ist diese:
Sei [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] n\not=a^2 [/mm] für alle [mm] a\in \IN.
[/mm]
Dann ist [mm] n\not=x^2 [/mm] für alle [mm] x\in \IQ.
[/mm]
(Die Aussage mal übersetzt: wenn n keine Quadratzahl ist, dann bekommt man sie auch nicht durchs Quadrieren von Brüchen.)
Die Voraussetzung also ist, daß man eine nat. Zahl n hat mit [mm] n\not=a^2 [/mm] für alle [mm] a\in \IN.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Do 22.10.2009 | | Autor: | den9ts |
[mm] \bruch{c^2}{d^2}=x^2=n \rightarrow n*d^2=c^2 \rightarrow \bruch{c^2}{n}=d^2 \rightarrow n|c^2 [/mm] ... komme hier leider auf keinen grünen zweig :<
danke dir fuer deine muehe .. kannst du mich trotzdem noch ein stück weiter in die richtung der lösung führen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:02 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo den9ts,
> [mm]\bruch{c^2}{d^2}=x^2=n \rightarrow n*d^2=c^2 \rightarrow \bruch{c^2}{n}=d^2 \rightarrow n|c^2[/mm]
> ... komme hier leider auf keinen grünen zweig :<
> danke dir fuer deine muehe .. kannst du mich trotzdem noch
> ein stück weiter in die richtung der lösung führen?
Versuch's doch mal mit
[mm] $c^2=n\cdot d^2\ \Rightarrow\ d^2\ [/mm] |\ [mm] c^2$
[/mm]
Kannst du dann auch Aussagen über $d$ und $c$ treffen? (Also ohne die Quadrate)
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 23.10.2009 | | Autor: | den9ts |
hi.. musste das heut morgen abgeben und hatte dann noch hingeschrieben, dass wenn c , d teilerfremd sind, da keine der primfaktoren der zahlen teiler voneinander sind, auch [mm] c^2 [/mm] und [mm] d^2 [/mm] teilerfremd sein müssen, weshalb wiederum eine rationale zahl durch [mm] \bruch{c^2}{d^2} [/mm] beschrieben wird. sodass n keine natuerliche zahl ergeben kann.
hoffe das war dann wenigstens minimal richtig.. ansonsten kann ichs nun auch nimmer aendern ._.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:09 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
ja, so hätte ich auch argumentiert.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
|
