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Forum "Uni-Stochastik" - Beweis Zufallsvariable
Beweis Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis Zufallsvariable: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Di 09.09.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
Es sei
X: [mm] (\Omega [/mm] , [mm] \sigma(E) [/mm] ) [mm] \to [/mm] {{0,1,2}, [mm] 2^{\{0,1,2\}} [/mm] },
[mm] X(\omega)= [/mm] 0, [mm] \omega=4 [/mm]
   =1, [mm] \omega \in [/mm] {1,3}
  = 2, [mm] \omega [/mm] =2
Zeige: X ist Zufallsvariable
(wobei [mm] \sigma [/mm] (E)= {{1,2,3},{2},{4}, {1,2,3,4}, { }, {2,4}, {1,2,4}, {1,3}})


Hallo,

ich wäre dankbar, wenn ihr mir sagen könntet, wie ich hier vorgehen muss...
Muss ich hier eine Umkehrabbildung betrachten?

        
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Beweis Zufallsvariable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Di 09.09.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Muss ich hier eine Umkehrabbildung betrachten?

nein, aber Urbilder wären sicherlich hilfreich.
Wann nennt man eine Funktion X denn ZV?
Definitionen wäre da sehr hilfreich.....

Gruß,
Gono


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Beweis Zufallsvariable: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:32 Mi 10.09.2014
Autor: rollroll

Als Definition hätte ich folgendes im Angebot:

Seien [mm] (\Omega, \mathcal{A}) [/mm] und [mm] (\Omega', \mathcal{A}') [/mm] zwei Messräume. Eine Abbildung X: [mm] \Omega \to \Omega' [/mm] wird Zufallsvariable genannt, wenn [mm] X^{-1} [/mm] ( A')= { [mm] \omega \in \Omega: X(\omega) \in [/mm] A' } [mm] \in \mathcal{A} \forall [/mm] A' [mm] \in \mathcal{A}' [/mm]

Bezug
                        
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Beweis Zufallsvariable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Mi 10.09.2014
Autor: fred97

Du schreibst

$X:  [mm] (\Omega [/mm]  ,  [mm] \sigma(E) [/mm]  )  [mm] \to \{\{0,1,2\}, 2^{\{0,1,2\}} \}$ [/mm]

Gemeint ist wohl

$X:  [mm] (\Omega [/mm]  ,  [mm] \sigma(E) [/mm]  )  [mm] \to (\{0,1,2\}, 2^{\{0,1,2\}} [/mm] )$

Deinen weiteren Angaben entnehme ich:

$ [mm] \Omega=\{1,2,3,4\}$, $\mathcal{A}= \sigma(E)$. [/mm]

(Was E sein soll hast Du nicht verraten !)

Weiter soll wohl [mm] \Omega'= \{0,1,2\} [/mm] sein und [mm] \mathcal{A}' [/mm] = Potenzmenge von [mm] \Omega'. [/mm]

Zeige also:

ist B eine Teilmenge von [mm] \Omega', [/mm] so ist [mm] X^{-1}(B) [/mm] eine Teilmenge von [mm] \sigma(E). [/mm]

FRED

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Beweis Zufallsvariable: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Mi 10.09.2014
Autor: rollroll

Sorry, es ist E= { {1,2,3}, {2}, {4} }, [mm] \mathcal{A} [/mm] ist die Sigma-Algebra.

Wovon genau muss ich denn jetzt die Urbilder betrachten?

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Zufallsvariable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Mi 10.09.2014
Autor: fred97


> Sorry, es ist E= { {1,2,3}, {2}, {4} }, [mm]\mathcal{A}[/mm] ist die
> Sigma-Algebra.

Und, was ist Deine Frage ???

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Beweis Zufallsvariable: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:36 Mi 10.09.2014
Autor: rollroll

Hatte meine Frage editiert.

Bezug
                                        
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Beweis Zufallsvariable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Mi 10.09.2014
Autor: fred97


> Sorry, es ist E= { {1,2,3}, {2}, {4} }, [mm]\mathcal{A}[/mm] ist die
> Sigma-Algebra.
>  Wovon genau muss ich denn jetzt die Urbilder betrachten?

Kannst Du lesen ? Oben schrieb ich:

"Zeige: ist B eine Teilmenge von $ [mm] \Omega', [/mm] $ so ist $ [mm] X^{-1}(B) [/mm] $ eine Teilmenge von $ [mm] \sigma(E). [/mm] $"

FRED



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Beweis Zufallsvariable: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Do 11.09.2014
Autor: rollroll

Also muss ich die 8 Mengen
{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} betrachten?

z.B.: [mm] X^{-1} [/mm] ({})= { [mm] \omega \in [/mm] {1,2,3,4}: [mm] X(\omega) \in [/mm] { } } ??

Ich komme mit der Notation nicht ganz klar...

Bezug
                                                        
Bezug
Beweis Zufallsvariable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Do 11.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Also muss ich die 8 Mengen
> {},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} betrachten?

hier ist mir nicht klar, ob Du das richtige meinst. Man kann schreiben, dass
Du

    [mm] $X^{-1}(\text{Pot}(\{0,1,2\})) \subseteq \sigma(E)$ [/mm]

nachzurechnen hast, wenn man das Symbol linkerhand entsprechend definiert.

Jedenfalls: Du hast oben nicht

    [mm] $\text{Pot}(\{0,1,2\})$ [/mm]

hingeschrieben, sondern

    [mm] $\text{Pot}(\{1,2,3\}).$ [/mm]

Das bekommst Du aber leicht korrigiert. ;-)

> z.B.: [mm]X^{-1} (\{\})= \{ \omega \in \{1,2,3,4\}: X(\omega) \in \{ \} \}[/mm] ??
>  
> Ich komme mit der Notation nicht ganz klar...

Warum? Sieht doch gut aus. Nur:

    [mm] $\{\omega \in \Omega=\{1,2,3,4\}:\;\;X(\omega) \in \{\}\}$ [/mm]

ist jetzt wirklich sehr sehr vakuumiert... Wie kann man das noch schreiben?

Allgemein: Ist $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ eine Abbildung, so ist

    [mm] $f^{-1}(\{\})=\{\}\,.$ [/mm]

Beweis: Es gibt kein $x [mm] \in [/mm] D$ mit $f(x) [mm] \in \{\}\,.$ $\Box$ [/mm]
(Beachte: Ist [mm] $D\,$ [/mm] nicht leer und $x [mm] \in D\,$ [/mm] (fest), so ist [mm] $\{f(x)\}$ [/mm] nicht leer!)

Also?

Und damit es nochmal ganz klar da steht:
Es ist zu zeigen:
Für alle

    $M [mm] \in \{\{\},\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\}=\text{Pot}(\{0,1,2\})$ [/mm]

gilt

    [mm] $X^{-1}(M) \in \sigma(E)=\{\{1,2,3\},\{2\},\{4\}, \{1,2,3,4\}, \{ \}, \{2,4\}, \{1,2,4\}, \{1,3\}})$ [/mm]

Dass [mm] $\text{Pot}(X)$ [/mm] (ihr schreibt das als [mm] $2^X$) [/mm] eine Sigma-Algebra auf [mm] $X\,$ [/mm] ist, ist
klar (habt ihr das schonmal nachgewiesen?).
Ich würde mich hier auch davon überzeugen, dass für [mm] $E=\{ \{1,2,3\}, \{2\}, \{4\} \}$ [/mm] auch
[mm] $\sigma(E)$ [/mm] korrekt angegeben wird - oder, wenn die Aufgabenstellung so
lautet, wie Du sie am Anfang aufgeschrieben hattest:
Dass [mm] $\sigma(E)$ [/mm] (welches ja dann angegeben wird) auch eine Sigma-Algebra
auf [mm] $\{1,2,3,4\}$ [/mm] ist - das steht ja eine Voraussetzung bei dem Begriff der Zufallsvariablen
dabei!

Aber zurück zur eigentlichen Hauptaufgabe: Ich nehme noch eine
Beispielmenge aus [mm] $\text{Pot}(\{0,1,2\})$ [/mm] her, jetzt mal die Menge [mm] $\{1,2\}\,.$ [/mm] Wir berechnen

    [mm] $X^{-1}(\{1,2\})=\{w \in \Omega=\{1,2,3,4\}: \;\; X(w)=1 \text{ oder }X(w)=2\}=\{1,2,3\}$ [/mm]

Man hätte das auch so rechnen können:

        [mm] $X^{-1}(\{1,2\})=X^{-1}(\{1\}) \cup X^{-1}(\{2\})=\{1,3\} \cup \{2\}=\{1,2,3\}\,.$ [/mm]

Und jetzt hat man

    [mm] $X^{-1}(\{1,2\})=\red{\{\,1,2,3\,\}}$ [/mm]

und schaut sich nun an, ob [mm] $\red{\{\,1,2,3\,\}}$ [/mm] zu [mm] $\sigma(E)$ [/mm] gehört:

    [mm] $\sigma(E)=\{\red{\{1,2,3\}},\{\,2\,\},\{4\}, \{1,2,3,4\}, \{ \}, \{2,4\}, \{1,2,4\}, \{1,3\}})$ [/mm]

Passt also...

D.h., aktuell wissen wir: Von den Mengen

    $ M [mm] \in \{\blue{\{\}},\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\blue{\{1,2\}},\{0,1,2\}\} [/mm] $

gilt

    [mm] $X^{-1}(M) \in \sigma(E)$ [/mm] für [mm] $M=\{\}$ [/mm] bzw. [mm] $M=\{1,2\}\,.$ [/mm]

Um die nichtblaumarkierten Mengen oben darfst Du Dich nun wieder
kümmern...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Beweis Zufallsvariable: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Fr 12.09.2014
Autor: rollroll

Danke für deine ausführliche Antwort, Marcel!

Habs verstanden! Eigentlich gar nicht so schwer ;-)

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