Beweis: Wurzel 3 = irrational < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mi 01.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Jede ganze Zahl lässt sich in den Formen $3m,\ 3m+1,\ 3m+2$ mit einem geeigneten $m [mm] \in \IZ$ [/mm] darstellen; genau die Zahlen $3m$ sind durch 3 teilbar. Zeige:
a) $ k [mm] \in \IZ$ [/mm] ist durch 3 teilbar [mm] \gdw $k^2$ [/mm] ist durch 3 teilbar
b) [mm] $\wurzel{3}$ [/mm] ist irrational
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Hi,
ich hoffe ich nerve nicht, da solche Aufgaben vermutlich für die meisten selbsterklärend sind und keinerlei Diskussion erfordern.
Ich würde bloß gerne wissen, ob mein Ansatz der richtige ist, zu zeigen, dass
[mm] $\wurzel{3}$ [/mm] irrational ist.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
a) $ k [mm] \in \IZ$ [/mm] ist durch 3 teilbar
Gemäß der Definition in der Angabe sind Zahlen in der Form $3m$ mit $m [mm] \in \IZ$ [/mm] durch 3 teilbar.
Ausserdem gilt [mm] $\bruch{k^2}{3} \in \IZ$, [/mm] wenn [mm] $\bruch{k}{3} \in \IZ$
[/mm]
Mein Ansatz war nun folgender (obwohl ich fast Glaube, dass ich da nicht wirklich etwas aufzeige bzw. es mir ein wenig zu einfach mache):
$k = 3m,\ mit\ m [mm] \in \IZ$
[/mm]
[mm] $\bruch{3m}{3} [/mm] = m$
[mm] $(3m)^2 [/mm] = [mm] 9m^2$
[/mm]
[mm] $\bruch{9m^2}{3} [/mm] = 3m$
Hier glaube Aufgabenteil a) gezeigt zu haben. Gilt das überhaupt, wenn ich das so einfach aufzeige? Oder muss hier schon ein erster Beweis folgen?
b) [mm] $\wurzel{3}$ [/mm] ist irrational
Hier versuchte ich es mit einem Widerspruchsbeweis und nahm an, es gebe eine Zahl $r [mm] \in \IZ$, [/mm] dessen Quadrat 3 ergibt.
[mm] $r^2 [/mm] = 3$ mit $r [mm] \in \IZ$
[/mm]
$r = [mm] \bruch{p}{q}$ [/mm] wobei [mm] $\bruch{p}{q}$ [/mm] in gekürzter Form vorliegt.
[mm] $(\bruch{p}{q})^2 [/mm] = 3$
$ [mm] p^2 [/mm] = [mm] 3q^2$
[/mm]
Nach den Definitionen aus Aufgabe a) lassen sich Zahlen in der Form $3m,\ mit\ m [mm] \in \IZ$ [/mm] durch 3 teilen.
so bin ich also weiter vorgegangen:
$ p = 3m $
$ [mm] (3m)^2 [/mm] = [mm] 3q^2$
[/mm]
$ [mm] 9m^2 [/mm] = [mm] 3q^2$
[/mm]
$ [mm] 3m^2 [/mm] = [mm] q^2$
[/mm]
dieser letzte Schritt ist nun der, bei dem ich mir am unsichersten bin, ob das so richtig war:
> > [mm] $\bruch{k^2}{3} \in \IZ$, [/mm] wenn [mm] $\bruch{k}{3} \in \IZ$
[/mm]
demnach ist:
$ [mm] \bruch{q}{3} \in \IZ$, [/mm] wenn $ [mm] \bruch{q^2}{3} \in \IZ$
[/mm]
sprich: [mm] $q^2$, [/mm] als auch $q$ sind durch 3 teilbar
$ q = 3k $, mit $k [mm] \in \IZ$
[/mm]
Hier stoße ich nun auf den Widerspruch, dass der Bruch [mm] $(\bruch{p}{q})$ [/mm] doch nicht in gekürzter Form vorliegt, denn:
[mm] $(\bruch{p}{q})$
[/mm]
$ p= 3m $
$ q = 3k $
[mm] $(\bruch{3m}{3k})$
[/mm]
Hier bin ich der Meinung, bewiesen zu haben, dass die Annahme [mm] $(\bruch{p}{q})^2 [/mm] = 3$ $mit\ p,q [mm] \in \IZ$ [/mm] falsch ist und daraus folgt, dass [mm] $\wurzel{3} \notin \IQ [/mm] $
So, das ist meine Lösung. Würde mich über Hinweise, Verbesserungsvorschläge oder Korrekturen freuen.
Danke:)
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Jede ganze Zahl lässt sich in den Formen [mm]3m,\ 3m+1,\ 3m+2[/mm]
> mit einem geeigneten [mm]m \in \IZ[/mm] darstellen; genau die Zahlen
> [mm]3m[/mm] sind durch 3 teilbar. Zeige:
>
> a) [mm]k \in \IZ[/mm] ist durch 3 teilbar [mm]\gdw[/mm] [mm]k^2[/mm] ist durch 3
> teilbar
>
> b) [mm]\wurzel{3}[/mm] ist irrational
>
> Hi,
>
> ich hoffe ich nerve nicht, da solche Aufgaben vermutlich
> für die meisten selbsterklärend sind und keinerlei
> Diskussion erfordern.
> Ich würde bloß gerne wissen, ob mein Ansatz der richtige
> ist, zu zeigen, dass
> [mm]\wurzel{3}[/mm] irrational ist.
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> a) [mm]k \in \IZ[/mm] ist durch 3 teilbar
>
> Gemäß der Definition in der Angabe sind Zahlen in der Form
> [mm]3m[/mm] mit [mm]m \in \IZ[/mm] durch 3 teilbar.
>
> Ausserdem gilt [mm]\bruch{k^2}{3} \in \IZ[/mm], wenn [mm]\bruch{k}{3} \in \IZ[/mm]
>
> Mein Ansatz war nun folgender (obwohl ich fast Glaube, dass
> ich da nicht wirklich etwas aufzeige bzw. es mir ein wenig
> zu einfach mache):
>
> [mm]k = 3m,\ mit\ m \in \IZ[/mm]
>
> [mm]\bruch{3m}{3} = m[/mm]
>
> [mm](3m)^2 = 9m^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{9m^2}{3} = 3m[/mm]
>
>
> Hier glaube Aufgabenteil a) gezeigt zu haben. Gilt das
> überhaupt, wenn ich das so einfach aufzeige? Oder muss hier
> schon ein erster Beweis folgen?
Hmm, irgendwie hast du hier "nur" drei Gleichheiten hingeschrieben.
Du hast eine Äquivalenz zu zeigen [mm] "\Leftrightarrow"
[/mm]
Dh. du musst 2 Richtungen zeigen
(1) [mm] $k\in\IZ$ [/mm] durch 3 teilbar [mm] $\Rightarrow k^2$ [/mm] durch 3 teilbar
(2) [mm] $k^2$ [/mm] durch 3 teilbar [mm] $\Rightarrow [/mm] k$ durch 3 teilbar
Du hast ansatzweise mit (1) angefangen:
Machen wir das mal "schön":
Sei also [mm] $k\in\IZ$ [/mm] durch 3 teilbar.
Dann gibt es ein [mm] $m\in\IZ$, [/mm] so dass sich k darstellen lässt als $k=3m$
Dann ist [mm] $k^2=(3m)^2=3\cdot{}3m^2$
[/mm]
Das ist offensichtlich durch 3 teilbar, denn mit [mm] $\tilde{m}:=3m^2$ [/mm] ist [mm] $k^2=3\tilde{m}$
[/mm]
fertig ist die eine Richtung
zu (2): Sei nun [mm] k^2 [/mm] durch 3 teilbar, dann gibt es ein [mm] $n\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $k^2=3n$
[/mm]
Nun musst du zeigen, dass gefälligst k auch durch 3 teilbar ist.
Das kannst du am besten indirekt machen:
Ann.: k ist nicht durch 3 teilbar, dann lässt sich k nach der Bem. darstellen als $k=3l+1$ oder $k=3l+2$ mit gewissem [mm] $l\in\IZ$; [/mm] schaue, was nun in diesen beiden Fällen mit [mm] k^2 [/mm] passiert, wo ergibt sich der Widerspruch?
> b) [mm]\wurzel{3}[/mm] ist irrational
>
> Hier versuchte ich es mit einem Widerspruchsbeweis ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
das ist eine gute Idee 
> und nahm an, es gebe eine Zahl [mm]r \in \IZ[/mm], dessen Quadrat 3 ergibt.
>
> [mm]r^2 = 3[/mm] mit [mm]r \in \IZ[/mm]
>
> [mm]r = \bruch{p}{q}[/mm] wobei [mm]\bruch{p}{q}[/mm] in gekürzter Form
> vorliegt.
>
> [mm](\bruch{p}{q})^2 = 3[/mm]
>
> [mm]p^2 = 3q^2[/mm]
>
> Nach den Definitionen aus Aufgabe a) lassen sich Zahlen in
> der Form [mm]3m,\ mit\ m \in \IZ[/mm] durch 3 teilen.
>
> so bin ich also weiter vorgegangen:
>
> [mm]p = 3m[/mm]
Hier solltest du kurz erwähnen, warum denn p durch 3 teilbar ist, aus der Gleichung vorher folgt erst einmal nur, dass [mm] p^2 [/mm] durch 3 teilbar ist!
Verweise auf (a)
>
> [mm](3m)^2 = 3q^2[/mm]
>
> [mm]9m^2 = 3q^2[/mm]
>
> [mm]3m^2 = q^2[/mm]
>
> dieser letzte Schritt ist nun der, bei dem ich mir am
> unsichersten bin, ob das so richtig war:
Hmm, hier würde ich so weitermachen:
[mm] $\Rightarrow q^2$ [/mm] durch 3 teilbar [mm] $\Rightarrow [/mm] q$ durch 3 teilbar nach (a)
Damit sind p und q durch 3 teilbar, also [mm] ggt(p,q)\neq [/mm] 1, das ist genau der Widerspruch, den du weiter unten erhältst
>
> > > [mm]\bruch{k^2}{3} \in \IZ[/mm], wenn [mm]\bruch{k}{3} \in \IZ[/mm]
>
> demnach ist:
>
> [mm]\bruch{q}{3} \in \IZ[/mm], wenn [mm]\bruch{q^2}{3} \in \IZ[/mm]
>
> sprich: [mm]q^2[/mm], als auch [mm]q[/mm] sind durch 3 teilbar
>
> [mm]q = 3k [/mm], mit [mm]k \in \IZ[/mm]
>
> Hier stoße ich nun auf den Widerspruch, dass der Bruch
> [mm](\bruch{p}{q})[/mm] doch nicht in gekürzter Form vorliegt,
genau!
> denn:
>
> [mm](\bruch{p}{q})[/mm]
>
> [mm]p= 3m[/mm]
>
> [mm]q = 3k[/mm]
>
> [mm](\bruch{3m}{3k})[/mm]
>
> Hier bin ich der Meinung, bewiesen zu haben, dass die
> Annahme [mm](\bruch{p}{q})^2 = 3[/mm] [mm]mit\ p,q \in \IZ[/mm] falsch ist
> und daraus folgt, dass [mm]\wurzel{3} \notin \IQ[/mm]
>
> So, das ist meine Lösung. Würde mich über Hinweise,
> Verbesserungsvorschläge oder Korrekturen freuen.
Das ist schon ganz gut, nur etwas "verworren" aufgeschrieben, sortiere mal alles und schreib's dir auch formal mal "schön" auf
>
> Danke:)
> ChopSuey
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Do 02.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus 
> Hmm, irgendwie hast du hier "nur" drei Gleichheiten
> hingeschrieben.
>
> Du hast eine Äquivalenz zu zeigen [mm]"\Leftrightarrow"[/mm]
>
> Dh. du musst 2 Richtungen zeigen
>
> (1) [mm]k\in\IZ[/mm] durch 3 teilbar [mm]\Rightarrow k^2[/mm] durch 3
> teilbar
>
> (2) [mm]k^2[/mm] durch 3 teilbar [mm]\Rightarrow k[/mm] durch 3 teilbar
>
> Du hast ansatzweise mit (1) angefangen:
>
> Machen wir das mal "schön":
>
> Sei also [mm]k\in\IZ[/mm] durch 3 teilbar.
>
> Dann gibt es ein [mm]m\in\IZ[/mm], so dass sich k darstellen lässt
> als [mm]k=3m[/mm]
>
> Dann ist [mm]k^2=(3m)^2=3\cdot{}3m^2[/mm]
>
> Das ist offensichtlich durch 3 teilbar, denn mit
> [mm]\tilde{m}:=3m^2[/mm] ist [mm]k^2=3\tilde{m}[/mm]
>
> fertig ist die eine Richtung
>
Großartig, vielen Dank für die verständliche Erklärung schonmal.
> zu (2): Sei nun [mm]k^2[/mm] durch 3 teilbar, dann gibt es ein
> [mm]n\in\IZ[/mm] mit [mm]k^2=3n[/mm]
Hätte man das ganze auch einfach weiterhin mit der variablen $m,\ mit\ m [mm] \in \IZ$ [/mm] darstellen können, oder muss/soll ich hier (wie Du das getan hast) der Übersichtlichkeit wegen eine neue variable $n$ bestimmen?
> Nun musst du zeigen, dass gefälligst k auch durch 3 teilbar
> ist.
>
> Das kannst du am besten indirekt machen:
>
> Ann.: k ist nicht durch 3 teilbar, dann lässt sich k nach
> der Bem. darstellen als [mm]k=3l+1[/mm] oder [mm]k=3l+2[/mm] mit gewissem
Hier gilt die selbe Frage: hätte man nicht einfach (wie in der Angabe) k=3m+1 und k=3m+2 wählen können?
> [mm]l\in\IZ[/mm]; schaue, was nun in diesen beiden Fällen mit [mm]k^2[/mm]
> passiert, wo ergibt sich der Widerspruch?
>
Werd ich gleich machen, ist nur gerade nicht möglich. Heisst aber nicht, dass ich mich davor drücken will
> > b) [mm]\wurzel{3}[/mm] ist irrational
> >
> > Hier versuchte ich es mit einem Widerspruchsbeweis
>
> das ist eine gute Idee
>
> > und nahm an, es gebe eine Zahl [mm]r \in \IZ[/mm], dessen Quadrat 3
> ergibt.
> >
> > [mm]r^2 = 3[/mm] mit [mm]r \in \IZ[/mm]
> >
> > [mm]r = \bruch{p}{q}[/mm] wobei [mm]\bruch{p}{q}[/mm] in gekürzter Form
> > vorliegt.
> >
> > [mm](\bruch{p}{q})^2 = 3[/mm]
> >
> > [mm]p^2 = 3q^2[/mm]
> >
> > Nach den Definitionen aus Aufgabe a) lassen sich Zahlen in
> > der Form [mm]3m,\ mit\ m \in \IZ[/mm] durch 3 teilen.
> >
> > so bin ich also weiter vorgegangen:
> >
> > [mm]p = 3m[/mm]
>
> Hier solltest du kurz erwähnen, warum denn p durch 3
> teilbar ist, aus der Gleichung vorher folgt erst einmal
> nur, dass [mm]p^2[/mm] durch 3 teilbar ist!
> Verweise auf (a)
> >
> >
> > [mm](3m)^2 = 3q^2[/mm]
> >
> > [mm]9m^2 = 3q^2[/mm]
> >
> > [mm]3m^2 = q^2[/mm]
> >
> > dieser letzte Schritt ist nun der, bei dem ich mir am
> > unsichersten bin, ob das so richtig war:
>
> Hmm, hier würde ich so weitermachen:
>
> [mm]\Rightarrow q^2[/mm] durch 3 teilbar [mm]\Rightarrow q[/mm] durch 3
> teilbar nach (a)
>
> Damit sind p und q durch 3 teilbar, also [mm]ggt(p,q)\neq[/mm] 1,
> das ist genau der Widerspruch, den du weiter unten
> erhältst
>
> >
> > > > [mm]\bruch{k^2}{3} \in \IZ[/mm], wenn [mm]\bruch{k}{3} \in \IZ[/mm]
> >
> > demnach ist:
> >
> > [mm]\bruch{q}{3} \in \IZ[/mm], wenn [mm]\bruch{q^2}{3} \in \IZ[/mm]
> >
> > sprich: [mm]q^2[/mm], als auch [mm]q[/mm] sind durch 3 teilbar
> >
> > [mm]q = 3k [/mm], mit [mm]k \in \IZ[/mm]
> >
> > Hier stoße ich nun auf den Widerspruch, dass der Bruch
> > [mm](\bruch{p}{q})[/mm] doch nicht in gekürzter Form vorliegt,
>
>
>
> genau!
>
> > denn:
> >
> > [mm](\bruch{p}{q})[/mm]
> >
> > [mm]p= 3m[/mm]
> >
> > [mm]q = 3k[/mm]
> >
> > [mm](\bruch{3m}{3k})[/mm]
> >
> > Hier bin ich der Meinung, bewiesen zu haben, dass die
> > Annahme [mm](\bruch{p}{q})^2 = 3[/mm] [mm]mit\ p,q \in \IZ[/mm] falsch ist
> > und daraus folgt, dass [mm]\wurzel{3} \notin \IQ[/mm]
> >
> > So, das ist meine Lösung. Würde mich über Hinweise,
> > Verbesserungsvorschläge oder Korrekturen freuen.
>
> Das ist schon ganz gut, nur etwas "verworren"
> aufgeschrieben, sortiere mal alles und schreib's dir auch
> formal mal "schön" auf
>
> >
> > Danke:)
> > ChopSuey
>
>
> LG
>
> schachuzipus
So. Danke für die ganzen Korrekturen/Hinweise/Tips und natürlich für's "Aufräumen"
Bin froh, dass es im großen und ganzen ein nicht allzu großer "Mist" war, was ich so geschrieben hab.
Grüße,
ChopSuey
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus
>
> Großartig, vielen Dank für die verständliche Erklärung
> schonmal.
>
> > zu (2): Sei nun [mm]k^2[/mm] durch 3 teilbar, dann gibt es ein
> > [mm]n\in\IZ[/mm] mit [mm]k^2=3n[/mm]
>
> Hätte man das ganze auch einfach weiterhin mit der
> variablen [mm]m,\ mit\ m \in \IZ[/mm] darstellen können, oder
> muss/soll ich hier (wie Du das getan hast) der
> Übersichtlichkeit wegen eine neue variable [mm]n[/mm] bestimmen?
Genau das war der Grund
Da hier ein "neuer Beweisteil" anfängt, der mit (1) nix zu tun hat, kannst du natürlich auch "m" nehmen
>
> > Nun musst du zeigen, dass gefälligst k auch durch 3 teilbar
> > ist.
> >
> > Das kannst du am besten indirekt machen:
> >
> > Ann.: k ist nicht durch 3 teilbar, dann lässt sich k nach
> > der Bem. darstellen als [mm]k=3l+1[/mm] oder [mm]k=3l+2[/mm] mit gewissem
>
> Hier gilt die selbe Frage: hätte man nicht einfach (wie in
> der Angabe) k=3m+1 und k=3m+2 wählen können?
Du kannst jeden Buchstaben nehmen, nur nicht den, den du etwas höher bei [mm] k^2 [/mm] verwendet hast, du musst immer darauf achten, dass alles konsistent ist und du in einem Beweis nicht ein und dieselbe Variable für (u.U.) verschiedene Dinge vergibst!
> So. Danke für die ganzen Korrekturen/Hinweise/Tips und
> natürlich für's "Aufräumen"
>
> Bin froh, dass es im großen und ganzen ein nicht allzu
> großer "Mist" war, was ich so geschrieben hab.
>
> Grüße,
> ChopSuey
Zurück und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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