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| Aufgabe | Beweisen Sie den folgenden Satz aus der Vorlesung:
Sei V ein K-Vektorraum über einem Körper K und seien [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{m} \in [/mm] V, so dass V = [mm] Spann_{k} (v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{m}). [/mm] Sind [mm] w_{1}, [/mm] ..., [mm] w_{n} \in [/mm] V mit [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{m} \in Spann_{k} (w_{1}, [/mm] ..., [mm] w_{n}) [/mm] so gilt auch V = [mm] Spann_{k} (w_{1}, [/mm] ..., [mm] w_{n}). [/mm] |
Hallo!
Wir sitzen nun schon sehr lange an dieser Aufgabe.
Wir wissen zwar, dass es vielleicht mit Untervektorräumen zu tun hat, aber wir finden einfach keinen Ansatz, geschweige denn eine Lösung.
Kann uns vielleict jemand helfen wenigstens einen Ansatz zu finden.
Vielen Dank
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> Beweisen Sie den folgenden Satz aus der Vorlesung:
> Sei V ein K-Vektorraum über einem Körper K und seien
> [mm]v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{m} \in[/mm] V, so dass V = [mm]Spann_{k} (v_{1},[/mm] ...,
> [mm]v_{m}).[/mm] Sind [mm]w_{1},[/mm] ..., [mm]w_{n} \in[/mm] V mit [mm]v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{m} \in Spann_{k} (w_{1},[/mm]
> ..., [mm]w_{n})[/mm] so gilt auch V = [mm]Spann_{k} (w_{1},[/mm] ...,
> [mm]w_{n}).[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zu zeigen ist, daß unter den gegebenen Voraussetzungen V = [mm]Spann_{k} (w_{1},[/mm] ..., [mm] w_{n}) [/mm] gilt, daß also
V [mm] \subseteq[/mm] [mm]Spann_{k} (w_{1},[/mm] ..., [mm] w_{n}) [/mm] und
[mm]Spann_{k} (w_{1},[/mm] ..., [mm] w_{n}) \subseteq [/mm] richtig sind.
Da die [mm] w_i [/mm] aus V sind und V ein Vektorraum ist, ist die zweite Aussage sofort klar.
Schauen wir uns also V [mm] \subseteq[/mm] [mm]Spann_{k} (w_{1},[/mm] ..., [mm] w_{n}) [/mm] an:
Was muß man hier zeigen? Daß man jedes [mm] v\in [/mm] V als Linearkombination der [mm] w_i [/mm] schreiben kann.
Sei [mm] v\in [/mm] V.
Schauen wir auf die Voraussetzungen:
V = [mm]Spann_{k} (v_{1},[/mm] [mm] ...,v_{m}) [/mm] bedeutet, daß man v als Linearkombination der [mm] v_i [/mm] schreiben kann.
[mm]v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{m} \in Spann_{k} (w_{1},[/mm] ..., [mm]w_{n})[/mm] bedeutet, daß man jeden vektor [mm] v_i [/mm] als Linearkombination von [mm] w_1,... w_n [/mm] schreiben kann.
Diese Tatbestände müssen nun zusammengeführt werden.
Gruß v. Angela
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