Beweis V(X)=n*p*(1-p) < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich soll Beweisen, dass gilt:
V(X)=n*p*(1-p) wenn X B(n,p) verteilt ist...
Leider habe ich keine Ahnung wie ich da vorgehen soll...
Hab ihr vielleicht einen Ansatz für mich?
Wäre echt super!
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Hallo little_tricia,
> Ich soll Beweisen, dass gilt:
> V(X)=n*p*(1-p) wenn X B(n,p) verteilt ist...
>
> Hab ihr vielleicht einen Ansatz für mich?
Ich erinnere mich da an eine Diskussion, wo ich das mal für den Erwartungswert aus der Vorlesungsmitschrift abgeschrieben habe. (Vermutlich steht dort auch der Beweis zur Varianz, aber ich weiß nicht mehr, wo ich das Heft hingetan habe.)
Also die Varianz ist ja so definiert:
[mm]V(X) := E\left[(X-E(X))^2\right]=E\left[(X-np)^2\right]=E\left(X^2-2Xnp+n^2p^2\right)[/mm]
[mm]= E\left(X^2\right) - 2E(X)np + n^2p^2 = E\left(X^2\right) - 2n^2p^2 + n^2p^2 = E\left(X^2\right) - n^2p^2[/mm]
Wenn ich mich nun an der damaligen Rechnung orientiere, sollte eigentlich folgendes gelten:
[mm]E\left(X^2\right) = np\sum_{i=0}^m{(i+1)\binom{m}{i}p^i(1-p)^{m-i}} = np\left[\left(\sum_{i=0}^m{i\binom{m}{i}p^i(1-p)^{m-i}}\right)+\sum_{i=0}^m{\binom{m}{i}p^i(1-p)^{m-i}}\right] = np(mp+1)[/mm]
Und damit gilt [mm]V(X) = np(mp+1)-(np)^2 = np((n-1)p+1)-(np)^2=(np)^2-np^2+np-(np)^2=-np^2+np = np(1-p)[/mm]
Viele Grüße
Karl
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Vielen Dank für deine ausführliche Antwort karl_pech.
Und natürlich auch für den Link.
Ich hab es zwar nicht hunder prozent verstanden, aber das wird unser Lehrer dann morgen erklären. Zumindest habe ich jetzt eine Idee und kann etwas mitreden!
Un auf sowas soll man selbständig kommen...das macht mir echt Angst...
Also nochmals vielen Dank!
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http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
