Beweis: Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ist die folgende Menge ein Untervektorraum des [mm] \IR^3? [/mm] |
Guten Abend,
es gilt also die die drei Axiome zu prüfen:
(U1) U [mm] \not=0 \gdw [/mm] 0 [mm] \in [/mm] U
(U2) [mm] \forall [/mm] v, w [mm] \in [/mm] U : v+w [mm] \in [/mm] U
(U3) [mm] \forall \lambda \in [/mm] K, v [mm] \in [/mm] U : [mm] \lambda\*v \in [/mm] U
Nun hat man hinter die Aufgabenstellung damals an die Tafel geschrieben:
d.h. = [mm] \vektor{2y+3z \\ y \\ z}
[/mm]
Hier fängt mein Problem an :)
x-2y = 3z hat man ja umgestelt zu x = 2y+3z
Aber wieso kann man einfach so sagen dass y = y und z = z ist?
Ebenfalls habe ich immer ein Problem (U1) zu beweisen.
Für einen Untervektorraum muss ich ja zeigen, dass die Menge nicht leer ist. Dies ist genau dann der Fall wenn 0 [mm] \IN [/mm] U.
Aber wie zeige ich das?
Kann ich irgendwie schon das in der Aufgabenstellung sehen?
Vielen Dank Euch
steffi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Kroni |
> Ist die folgende Menge ein Untervektorraum des [mm]\IR^3?[/mm]
> Guten Abend,
> es gilt also die die drei Axiome zu prüfen:
>
> (U1) U [mm]\not=0 \gdw[/mm] 0 [mm]\in[/mm] U
> (U2) [mm]\forall[/mm] v, w [mm]\in[/mm] U : v+w [mm]\in[/mm] U
> (U3) [mm]\forall \lambda \in[/mm] K, v [mm]\in[/mm] U : [mm]\lambda\*v \in[/mm] U
>
> Nun hat man hinter die Aufgabenstellung damals an die Tafel
> geschrieben:
>
> d.h. = [mm]\vektor{2y+3z \\ y \\ z}[/mm]
>
> Hier fängt mein Problem an :)
>
> x-2y = 3z hat man ja umgestelt zu x = 2y+3z
> Aber wieso kann man einfach so sagen dass y = y und z = z
> ist?
Hi,
wenn das alle Vektoren sind, die durch die obige Gleichung festgelegt sind, dann hast du eine Gleichung für drei Unbekannte (x,y,z). D.h. du hast ein unterbestimmtes Gleichungssystem. D.h. du kannst zwei Variablen frei wählen. Diese nennst du dann y und z. Deshalb ist y=y und z=z...Wenn du jetzt y und z frei gewählt hast, dann hast du dadurch ja x mit hilfe der vorgegebene Gleichung festgelegt. Deshalb ist x eine Funktion von y und z, und y=y und z=z, weil du diese beiden Variablen frei wählen kannst.
>
> Ebenfalls habe ich immer ein Problem (U1) zu beweisen.
> Für einen Untervektorraum muss ich ja zeigen, dass die
> Menge nicht leer ist. Dies ist genau dann der Fall wenn 0
> [mm]\IN[/mm] U.
>
> Aber wie zeige ich das?
Nun, jeder Vektor des Untervektorraums muss ja von der obigen Form sein. Wähle y=z=0 => x=0, d.h. der 0 Vektor ist ebenfalls von der geforderten Form und genügt den Gleichungen. D.h. dass 0 Element des Unterraumes ist.
Stünde dort jetzt z.B. der Vektor [mm] $\pmat{3\\y\\z}$, [/mm] dann wäre das kein Untervektorraum, weil die 0 nicht enthalten wäre.
> Kann ich irgendwie schon das in der Aufgabenstellung
> sehen?
Ja, s.h. oben.
>
> Vielen Dank Euch
>
> steffi
LG
Kroni
>
>
|
|
|
| |
|
D.h wenn wir je eine Variable für x,y,z haben können wir
sagen das 0 Element ist?
Zu der anderen Sache:
Könnte es auch theoretisch anstatt
[mm] \vektor{2y+3z \\ y \\ z }
[/mm]
auch
[mm] \vektor{x \\ y \\ \bruch{x}{3} - \bruch{2y}{3}}
[/mm]
geht.
Will nur wissen ob ich es ganz verstanden habe :)
Gruß
steffi
|
|
|
| |
|
Hallo Steffi1988,
> D.h wenn wir je eine Variable für x,y,z haben können wir
> sagen das 0 Element ist?
>
Dann hast Du ja [mm]\pmat{x \\ y \\ z}[/mm]. Somit ist die 0 Element des Untervektorraums.
>
> Zu der anderen Sache:
>
> Könnte es auch theoretisch anstatt
>
> [mm]\vektor{2y+3z \\ y \\ z }[/mm]
>
> auch
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ \bruch{x}{3} - \bruch{2y}{3}}[/mm]
>
> geht.
> Will nur wissen ob ich es ganz verstanden habe :)
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß
> steffi
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Perfekt, alles verstanden.
Dankeschön
|
|
|
| |
|
Noch eine kurze Frage:
wenn ich die Abgeschlossenheit beweisen will:
Wir haben ja unseren Vektor
[mm] \vektor{2y + 3z \\ y \\ z} [/mm] gebildet.
Nun habe ich folgendes gemacht:
[mm] \vektor{2V_{2} + 3V_{3} \\ V_{2} \\ V_{3}} [/mm] + [mm] \vektor{2W_{2} + 3W_{3} \\ W_{2} \\ W_{3}}
[/mm]
hierraus erhalte ich:
[mm] \vektor{2\*( V_{2}+W_{2}) + 3\*(V_{3}+W_{3}) \\ V_{2}+ W_{2} \\ V_{3} + W_{3} }
[/mm]
Laut Tafelbild ist das dann Element von meiner Menge..
Aber woher weiß ich das? Also irgendwie "sehe" ich es nicht.
Wenn ich habe:
[mm] M_{1} [/mm] = { x [mm] \in \IR [/mm] | x mod(2) = 1 }
dann ist x [mm] \in \IR [/mm] genau dann wenn halt die Bed. erfüllt wird..
Aber irgendwie verstehe ich es nicht wie s bei dieser Menge hier funktioniert..
Mit Zahlen würde das kein Problem sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
auch hier siehst du die Abgeschlossenheit durch "hinsehen".
Du weist, dass in dem Unervektorraum alle Vektoren von der Form [mm] $\pmat{2y+3z\\y\\z}$ [/mm] sind.
D.h. wenn ein Vektor so ausschaut, dann ist er Element des Untervektorraumes.
> Noch eine kurze Frage:
>
> wenn ich die Abgeschlossenheit beweisen will:
>
>
> Wir haben ja unseren Vektor
>
> [mm]\vektor{2y + 3z \\ y \\ z}[/mm] gebildet.
>
> Nun habe ich folgendes gemacht:
>
> [mm]\vektor{2V_{2} + 3V_{3} \\ V_{2} \\ V_{3}}[/mm] + [mm]\vektor{2W_{2} + 3W_{3} \\ W_{2} \\ W_{3}}[/mm]
>
> hierraus erhalte ich:
>
> [mm]\vektor{2\*( V_{2}+W_{2}) + 3\*(V_{3}+W_{3}) \\ V_{2}+ W_{2} \\ V_{3} + W_{3} }[/mm]
Das schaut doch bis hierhin super aus! Du hast in deinem Fall als y-Komponente [mm] $V_2+W_2$ [/mm] und als z-Komponente [mm] $V_3+W_3$, [/mm] soweit klar? Jetzt wusstest du ja, dass du y und z frei wählen kannst. In diesem Fall hast du y und z so wie oben gewählt. Dann weist du jetzt aber, dass für x gelten muss $x=2y+3z$, damit der Vektor in deinem Untervektorraum ist. Jetzt schau dir den obigen Vektor an, setzte für y und z die Komponenten von oben ein, und dann siehst du, dass der Vektor von oben genau von der geforderten Form ist. Siehst du das nun?
>
>
> Laut Tafelbild ist das dann Element von meiner Menge..
>
> Aber woher weiß ich das? Also irgendwie "sehe" ich es
> nicht.
> hierraus erhalte ich:
Ich hoffe, du siehst es mit der Erklärung besser?!
>
>
> Wenn ich habe:
>
> [mm]M_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x mod(2) = 1 }
> dann ist x [mm]\in \IR[/mm] genau dann wenn halt die Bed. erfüllt
> wird..
>
Genau, so ist es doch mit den Vektoren auch. Im Untervektorraum sind die Vektoren, die genau die Form [mm] $\pmat{2y+3z\\y\\z}$ [/mm] haben. Und genau so schaut dein Vektor oben doch auch aus, wenn du [mm] $y=V_2+W_2$ [/mm] und [mm] $z=V_3+W_3$ [/mm] wählst.
> Aber irgendwie verstehe ich es nicht wie s bei dieser Menge
> hier funktioniert..
Jetzt solltest du es sehen =)
>
>
> Mit Zahlen würde das kein Problem sein.
Ich hoffe, dass es für dich jetzt kein Problem mehr sein wird, die Sachen zu sehen =)
LG
Kroni
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Vielen lieben Dank, verstehe es nun (endlich) 
|
|
|
|
