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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Beweis Untervektorraum
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Beweis Untervektorraum: Tipp
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:42 So 01.05.2016
Autor: brover

Aufgabe
Beweisen oder widerlegen Sie, dass U ein Untervektorraum von V ist mit:
V:= \IR^2 und U:=\{(a,b)\varepsilon\IR^2|a^2+b^4=0\}

Ich weiß, dass ich folgendes zu zeigen habe:
1. U $ \not= \emptyset $
2. u,v $ \in $ U $ \Rightarrow $ u+v $ \in $ U
3. u $ \in $ U, $ \lambda \in $ K $ \Rightarrow \lambda $ *u $ \in $ U

Mein Ansatz wäre:

1. Es gilt [mm] (0,0)\varepsilonU, [/mm] also U $ \not= \emptyset $
2. Seien v,w [mm] \varepsilon [/mm] U. Dann ex. [mm] a,b,a',b'\varepsilon \IR, [/mm] sodass:
v:= (a,b) w:= (a´,b´)

Hier scheitert es nun, da ich nicht weiß, wie ich die Eigenschaft [mm] a^2+b^4=0 [/mm] verwende.

Muss ich dies umstellen zu [mm] a^2 [/mm] = [mm] -b^4 [/mm]
Oder wie muss ich vorgehen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Beweis Untervektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:23 Mo 02.05.2016
Autor: meister_quitte

Hallo brover,

dein Vorgehen ist soweit gut. Stelle nach a und nach b um, um die Komponenten deines Vektors zu erhalten. Ist U nun ein UVR?

Liebe Grüße

Christoph
Bezug
        
Bezug
Beweis Untervektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Mo 02.05.2016
Autor: chrisno

Schreib v+w hin, das ist (a,b) + (a',b') = ....
Dann erscheint ein Problem.
Nun wird es Zeit, dass Du mal anschaust, welche Elemente überhaupt in U sind. Ich sehe da nicht viele.
Bezug
                
Bezug
Beweis Untervektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:25 Mo 02.05.2016
Autor: brover

(a,b) + (a',b')  = (a+a',b+b') Aber wo ist hier ein Problem?
Und in U sind nur die Elemente (0,0).
Bezug
                        
Bezug
Beweis Untervektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Mo 02.05.2016
Autor: fred97


> (a,b) + (a',b')  = (a+a',b+b') Aber wo ist hier ein
> Problem?
>  Und in U sind nur die Elemente (0,0).

Ja, in U ist nur ein(!) Element: [mm] $U=\{(0,0)\}$ [/mm]

Ist U nun ein Untervektorraum ?

FRED

Bezug
                                
Bezug
Beweis Untervektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:37 Mo 02.05.2016
Autor: brover

U ist kein Untervektorraum, da kein a' existiert, sodass a+a' = 0
Bezug
                                        
Bezug
Beweis Untervektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:48 Mo 02.05.2016
Autor: X3nion

Hallo zusammen,

möge man mich korrigieren, falls meine Ausführungen falsch sind! :-)

Die Menge U:={(0,0)} besteht nur aus dem Nullvektor und ist somit eine echte Teilmenge von V:= [mm] R^{2}, [/mm] also gilt: U [mm] \subset [/mm] V
Die einzig mögliche Vektoraddition ist [mm] \vektor{0\\0} [/mm] + [mm] \vektor{0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0} [/mm] und das Ergebnis ist offensichtlich wieder ein Element der Menge U.
Und die Skalarmultiplikation ist einzig und allein mit dem Element [mm] \vektor{0\\0} [/mm] möglich. Also [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0}, [/mm] und dies gilt für alle [mm] \lambda \in \IR. [/mm]
Da der Nullvektor enthalten ist, ist U nicht-leer.

=> U ist ein Untervektorraum von V und erfüllt die Mindestbedingung, nämlich dass der Nullvektor enthalten sein muss. U wird auch "Nullvektorraum" genannt.

Gruß X3nion
Bezug
                                        
Bezug
Beweis Untervektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:06 Mo 02.05.2016
Autor: fred97


> U ist kein Untervektorraum, da kein a' existiert, sodass
> a+a' = 0

Unsinn. Ist V ein K-Vektorraum mit dem Nullvektor 0 , so ist [mm] \{0\} [/mm] stets ein Untervektorraum.

FRED
>  

Bezug
                                                
Bezug
Beweis Untervektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 Mo 02.05.2016
Autor: X3nion


> > U ist kein Untervektorraum, da kein a' existiert, sodass
> > a+a' = 0

Kurze Mitteilung noch @brover: Es wird nicht gefordert, dass a und a' verschieden sind!
Bezug
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