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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Do 19.04.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für a,b [mm] \in \IR [/mm] und für x>0 gilt:
ab [mm] \le \bruch{a^{2}}{2x}+\bruch{xb^{2}}{2}. [/mm] (Hinweis: Nutzen Sie eine Bionomische Formel) |
Hey,
würde mich freuen, wenn mir jemand einen Denkanstoss geben kann.
Also: Meine erste Überlegung war, die Brüche auf der rechte Seite gleichnamig zu machen:
ab [mm] \le \bruch{a^{2}+ x^{2}b^{2}}{2x}
[/mm]
Dann beide Seiten mit 2x zu multiplizieren
2xab [mm] \le a^{2}+ x^{2}b^{2}
[/mm]
Und 2xab zu subtrahieren
0 [mm] \le a^{2}+ x^{2}b^{2} [/mm] -2xab
Dann fällt die Ähnlichkeit mit einer Gleichung zweiten Grades auf.
0 [mm] \le b^{2}x^{2}-2abx+a^{2} [/mm]
Doch nun stehe ich auf den Schlauch, weil der Hinweise eine Bionomische Gleichung nicht ohne Grund gegeben worden ist (so meine Vermutung) und ich nicht weiß, dass mir die pq-Formel hier bringen könnte.
Nun zu meiner zweiten Überlegung...
Da ich leider nicht weiß, ob ich ab von der rechten auf die linke Seite "holen" kann, habe ich versucht, die Gleichung einfach umzuformen, so dass folgendes rauskommt:
ab [mm] \le (2x)^{-1}(a+xb)^{2}
[/mm]
Aber wirklich weiter bringt mich das nicht..
Jemand ne Idee?
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Do 19.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Zeigen Sie, dass für a,b [mm]\in \IR[/mm] und für x>0 gilt:
>
> ab [mm]\le \bruch{a^{2}}{2x}+\bruch{xb^{2}}{2}.[/mm] (Hinweis:
> Nutzen Sie eine Bionomische Formel)
setzen wir
[mm] $$(\star)\;\;ab \le \bruch{a^{2}}{2x}+\bruch{xb^{2}}{2}.$$
[/mm]
> Hey,
>
> würde mich freuen, wenn mir jemand einen Denkanstoss geben
> kann.
>
> Also: Meine erste Überlegung war, die Brüche auf der
> rechte Seite gleichnamig zu machen:
dann vergessen nicht, mit Zeichen zu zeigen, in welcher Beziehung die Ungleichungen zueinander stehen:
Es gilt
[mm] $$(\star) \;\; \gdw$$
[/mm]
> ab [mm]\le \bruch{a^{2}+ x^{2}b^{2}}{2x}[/mm]
Ich erspare mir das nun, das überall dazuzuschreiben. Beachte aber, dass das [mm] $\gdw$ [/mm] immer zwei Folgerungen beinhaltet - und nur, wenn beide gelten, kann man es auch benutzen. Andernfalls muss man sich halt überlegen, ob evtl. [mm] $\Leftarrow$ [/mm] oder [mm] $\Rightarrow$ [/mm] gilt und ob bzw. was das bringen würde.
> Dann beide Seiten mit 2x zu multiplizieren
>
> 2xab [mm]\le a^{2}+ x^{2}b^{2}[/mm]
Diese Ungleichung ist zur vorangegangenen wegen $x > [mm] 0\,$ [/mm] äquivalent - das ist schon wichtig und zu beachten!
> Und 2xab zu subtrahieren
>
> 0 [mm]\le a^{2}+ x^{2}b^{2}[/mm] -2xab
>
> Dann fällt die Ähnlichkeit mit einer Gleichung zweiten
> Grades auf.
>
> 0 [mm]\le b^{2}x^{2}-2abx+a^{2}[/mm]
Bis hierher ist doch alles super - alle Umformungen waren Äquivalenzumformungen:
Also gilt [mm] $(\star) \gdw [/mm] 0 [mm] \le b^{2}x^{2}-2abx+a^{2}\,.$
[/mm]
Wenn wir also zeigen, dass unter den gegebenen Voraussetzungen die Ungleichung $0 [mm] \le b^{2}x^{2}-2abx+a^{2}$ [/mm] stimmt, dann zeigt beim blauen Satz die Richtung [mm] $\Leftarrow\,,$ [/mm] dass [mm] $(\star)$ [/mm] gilt.
Ich nehme Dir nun das Brett vom Kopf:
Für jedes $y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt insbesondere, weil ja die Quadrate von Zahlen aus [mm] $\IR$ [/mm] stets [mm] $\ge [/mm] 0$ sind
[mm] $$(y-a)^2 \ge 0\,.$$
[/mm]
Unsere Zauberkugel empfiehlt nun mal speziell [mm] $y:=bx\,$ [/mm] zu betrachten...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 19.04.2012 | | Autor: | silfide |
Ah, danke für die Wegnahme, habe schon überlegt, wie ich das x eleminieren kann....
Das mit der Äquivalenz ist mir zwar bekannt, aber gerade irgendwie nicht greifbar - also, was dürfte ich denn nicht machen oder wie überprüfe ich, dass alle Schritte äquivalent durchgeführt wurden?
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Do 19.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah, danke für die Wegnahme, habe schon überlegt, wie ich
> das x eleminieren kann....
>
> Das mit der Äquivalenz ist mir zwar bekannt, aber gerade
> irgendwie nicht greifbar - also, was dürfte ich denn nicht
> machen oder wie überprüfe ich, dass alle Schritte
> äquivalent durchgeführt wurden?
naja, wenn man bei zwei Aussagen $A [mm] \gdw [/mm] B$ schreibt, so bedeutet dass, dass sowohl
1.) Die Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ richtig ist
als auch
2.) Die Folgerung $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ richtig ist.
Also beides muss stimmen.
Ein Standardbeispiel:
Wenn man die Voraussetzung hat: Es sei $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Dann darf ich schreiben
[mm] $$x^2=4 \gdw x=2\,.$$
[/mm]
Denn dass $x=2 [mm] \Rightarrow x^2=4$ [/mm] gilt, ist wegen [mm] $2^2=2*2=4\,$ [/mm] klar. Umgekehrt ist aber [mm] $x^2=4$ [/mm] äqivalent zu [mm] $(x+2)*(x-2)=0\,.$ [/mm] Und ein Produkt in [mm] $\IR$ [/mm] ist nunmal genau dann Null, wenn einer der Faktoren [mm] $=0\,$ [/mm] ist. Aber der Faktor $x+2$ erfüllt hier wegen $x [mm] \ge [/mm] 0$ sicherlich $x+2 > [mm] 0\,,$ [/mm] also muss $x-2=0$ und damit [mm] $x=2\,$ [/mm] sein. Also gilt auch hier [mm] $x^2=4 \Rightarrow x=2\,.$
[/mm]
ABER:
Wenn man nur $x [mm] \in \IR$ [/mm] voraussetzt, dann ist [mm] $x^2=4 \gdw [/mm] x=2$ FALSCH. Hier gilt zwar weiterhin $x=2 [mm] \Rightarrow x^2=4\,,$ [/mm] aber umgekehrt impliziert [mm] $x^2=4\,$ [/mm] keinesfalls [mm] $x=2\,:$ [/mm] Analog zu oben ist nämlich wieder [mm] $x^2=4 \gdw [/mm] (x+2)(x-2)=0$ und hier kann halt auch [mm] $x+2=0\,$ [/mm] bzw. [mm] $x=-2\,$ [/mm] sein, wenn wir nur $x [mm] \in \IR$ [/mm] voraussetzen!
Und manchmal ist es halt so (im Prinzip wie bei Deinem Beweis):
Behauptet wird (unter irgendwelchen Voraussetzungen) eine Aussage [mm] $A\,.$ [/mm] Nun macht man folgendes:
$$A [mm] \gdw C_1 \gdw C_2 \gdw [/mm] ... [mm] \gdw C_n\,,$$
[/mm]
wobei die letzte Aussage [mm] $C_n$ [/mm] hoffentlich/vielleicht einfacher zu beweisen ist. Nun kann es sein, dass man sieht/oder mit anderen Mitteln begründen kann:
Eine Aussage [mm] $B\,$ [/mm] ist trivial (oder einfach zu beweisen). Und dann zeigt man $B [mm] \Rightarrow B_1 [/mm] ... [mm] \Rightarrow B_m \Rightarrow C_n\,.$ [/mm] Dann hat man die Aussage [mm] $A\,$ [/mm] bewiesen, denn dies folgt dann, weil ja [mm] $B\,$ [/mm] wahr ist, dann aus der Folgerungskette
$$B [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow B_m \Rightarrow C_n \Rightarrow C_{n-1} \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow C_2 \Rightarrow C_1 \Rightarrow A\,,$$
[/mm]
denn diese (deren Richtigkeit man oben dann insbesondere mitbewiesen hat) enthält dann alle wichtigen Folgerungen, um [mm] $A\,$ [/mm] zu beweisen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 So 22.04.2012 | | Autor: | silfide |
Okay, so mit der Äquivalenz bin ich vertraut, nur bin ich nicht sicher was es an der Stelle zu tun hat. Also die Stelle mit dem [mm] (\*).
[/mm]
Aber ich danke dir auf jeden Fall für die ganze Mühe. Nun ist die Äquivalenz tiefer in mein Köpfchen gesunken - hatte also was Gutes.
Danke
Silfide
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