Beweis: (Un)stetigeit von f(x) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) nie stetig ist.
$ f: R -> R $ und
$f(x) = 0 für x [mm] \not\in [/mm] Q$
$f(x) = 1 für x [mm] \in [/mm] Q$ |
Hallo!
obiger Beweis soll geführt werden, und das anhand der "Epsilon-Delta-Methode" einerseits, mit Hilfe des Folgenkriteriums andererseits..
Wie immer freue ich mich über Hinweise, Ratschläge, Tipps etc. etc.
Los geht's!
I. Der Beweis mit der "Epsilon-Delta-Methode":
Fall 1: [mm] $x_0 \in [/mm] Q $
Daraus folgt $ [mm] f(x_0) [/mm] = 1$
Sei $ 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 1 $ und $ [mm] \delta [/mm] > 0 $ beliebig gewählt.
Es ist dann $ f(x) = 0 $ für alle $ x [mm] \in [x_0 [/mm] - [mm] \delta [/mm] , [mm] x_0 [/mm] + [mm] \delta]$.
[/mm]
Daraus folgt: $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = 1 > [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nach der Defintion für Stetigkeit müsste jedoch im letzten Schritt $ < [mm] \varepsilon$ [/mm] stehen; somit ist die Funktion in diesem Fall nie stetig.
Fall 2: [mm] $x_0 \not\in [/mm] Q$
Daraus folgt $ [mm] f(x_0) [/mm] = 0$
Sei $ 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 1 $ und $ [mm] \delta [/mm] > 0 $ beliebig gewählt.
Es ist dann $ f(x) = 1 $ für alle $ x [mm] \in [x_0 [/mm] - [mm] \delta, x_0 [/mm] + [mm] \delta].$
[/mm]
Daraus folgt: $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = 1 > [mm] \varepsilon$.
[/mm]
...
II. Der Beweis per Folgenkriterium:
Wieder werden die zwei Fälle unterschieden:
1.) [mm] $x_0 \in [/mm] Q$. Sei $ [mm] (a_n) [/mm] eine Folge$
Für Stetigkeit müsste gelten, dass wenn
[mm] $a_n \to x_0$ [/mm] gilt auch [mm] $f(a_n) [/mm] = [mm] f(x_0)$ [/mm] ist. Für die geforderte Unstetigkeit zeige ich also:
$lim [mm] (a_n) [/mm] = [mm] x_0$ [/mm] (n [mm] \to \infty) [/mm] Aber es folgt, dass $lim [mm] (f(a_n)) [/mm] = 0 [mm] \not\eq [/mm] 1 = [mm] f(x_0)$ [/mm] (n [mm] \to \infty).
[/mm]
Gleiches für den zweiten Fall.. ??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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