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Beweis Sigma-Algebra: Korrektur, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:23 Mi 20.01.2021
Autor: TS85

Aufgabe
Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] ein WRaum und [mm] \Omega' \in \mathcal{A} [/mm] mit
[mm] P(\Omega')>0. [/mm] i: [mm] \Omega' \to \Omega, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x als kanonische Einbettung.

[mm] \mathcal{A}':= \{\Omega' \cap A | A \in \mathcal{A}\} [/mm]
und P': [mm] \mathcal{A}' \to [/mm] [0,1], P'(A'):= [mm] \bruch{P(A')}{P(\Omega')} [/mm]
für alle A' [mm] \in \mathcal{A}'. [/mm]

i) Für A' [mm] \in \mathcal{A}' [/mm] ist A' in [mm] \mathcal{A}. [/mm]
ii) [mm] (\Omega',\mathcal{A}',P') [/mm] ist WRaum.
iii) i: [mm] \Omega' \to \Omega [/mm] ist [mm] \mathcal{A}'-\mathcal{A}-messbar. [/mm]

zu i)
A' [mm] \in \mathcal{A}' [/mm] = A' [mm] \in \{\Omega' \cap A | A \in \mathcal{A}\}, [/mm]
d.h. [mm] A'\subseteq \underbrace{\Omega' \cap A}_{\in \mathcal{A}} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] A' [mm] \in \mathcal{A}, [/mm] bzw. [mm] \mathcal{A}' \subseteq \mathcal{A}. [/mm]

zu ii)
Ich habe hier [mm] \mathcal{A}' [/mm] als Spur-Sigma-Algebra interpretiert
[mm] (\mathcal{A}_{|\Omega'}={\Omega' \cap A | A \in \mathcal{A}\})=\mathcal{A}' [/mm] und einen mir hierzu bekannten Beweis
verwendet (von [mm] \mathcal{A}_{|E} [/mm] mit [mm] \Omega' \subseteq \Omega' [/mm]
anstelle von E [mm] \subseteq [/mm] X) - zulässig?

Für den eigentlichen Beweis, dass WRaum vorliegt,
ist nun wieder
1.) [mm] \emptyset', \Omega' [/mm] mit [mm] P'(\emptyset')=0, P'(\Omega')=1 [/mm]
2.) Monotonie
3.) Additivität zu zeigen
(?)

iii)
z.z.: [mm] \sigma(i)= i^{-1}(\mathcal{A})\subseteq \mathcal{A}' [/mm] ist messbar:

[mm] i^{-1}(\mathcal{A})= \Omega' \cap \mathcal{A} [/mm]
mit [mm] \Omega' \in \Omega (\mathcal{A}' \subseteq \mathcal{A} [/mm] nach a)),
da [mm] \sigma(i):=i^{-1}(\mathcal{A})=\{i^{-1}(A) | A \in \mathcal{A}\} [/mm]
(Bringe ich hier etwas durcheinander?)

Bevor ich hier ii) komplett aufschreibe, wollte ich mich erstmal informieren,
ob dies die richtige Beweisführung ist. Vorweg: Aufgabe entstammt einer Grundlagenvorlesung und nicht der Maß- und Integrationstheorie.

Gruß

        
Bezug
Beweis Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Mi 20.01.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\mathcal{A}':= \{\Omega' \cap A | A \in \mathcal{A}\}[/mm]

Das Objekt nennt sich [mm] "Spur-$\sigma$-Algebra". [/mm]

> zu ii)
>  Ich habe hier [mm]\mathcal{A}'[/mm] als Spur-Sigma-Algebra interpretiert

Na da gibt's nix zu interpretieren…
Außer dass man die Spur-Sigma-Algebra auch für allgemeine [mm] $E\subseteq \Omega$ [/mm] definieren kann, aber dann stimmt i) natürlich im Allgemeinen nicht mehr.

> Für den eigentlichen Beweis, dass WRaum vorliegt,
>  ist nun wieder
> 1.) [mm]\emptyset', \Omega'[/mm] mit [mm]P'(\emptyset')=0, P'(\Omega')=1[/mm]
>  
> 2.) Monotonie
>  3.) Additivität zu zeigen
>  (?)

Nein.
Es ist zu zeigen:
i) [mm] $\mathcal{A}'$ [/mm] ist Sigma-Algebra
ii) P' ist ein W-Maß

i) ist nach Spur-Sigma-Algebra klar
ii) Auch sofort, da P' eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist, nämlich $P'(A') = [mm] P[A|\Omega']$. [/mm]
  

> iii)
>  z.z.: [mm]\sigma(i)= i^{-1}(\mathcal{A})\subseteq \mathcal{A}'[/mm]
> ist messbar:
>  
> [mm]i^{-1}(\mathcal{A})= \Omega' \cap \mathcal{A}[/mm]
>  mit [mm]\Omega' \in \Omega (\mathcal{A}' \subseteq \mathcal{A}[/mm]
> nach a)),
>  da [mm]\sigma(i):=i^{-1}(\mathcal{A})=\{i^{-1}(A) | A \in \mathcal{A}\}[/mm]

Also du meinst vermutlich das richtige, der Aufschrieb ist aber gruselig.
Beispielsweise gilt ganz sicher nicht [mm] $\Omega' \in \Omega$ [/mm] sondern [mm] $\Omega' \subseteq \Omega$ [/mm]

Es ist zu zeigen: [mm] $i^{-1}(A) \in \mathcal{A}'$ [/mm] für $A [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm]
Nun ist [mm] $i^{-1}(A) [/mm] = [mm] \Omega' \cap [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}'$ [/mm]  da $A [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm]
Fertig…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Beweis Sigma-Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:28 Mi 20.01.2021
Autor: TS85

Ok danke für die Korrektur und den Hinweis, war etwas unsicher.

Bezug
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