Beweis/Relation/Differenzieren < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Do 06.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei f:(a,b) -> [mm] \IR [/mm] differenzierbar in (a,b) , und an [mm] x_0 \in [/mm] (a,b) zweimal differenzierbar und f'' [mm] (x_0) [/mm] >0
Dann folgt [mm] \exists \epsilon [/mm] >0 : f(x) >= [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] f'(x_0) [/mm] * [mm] (x-x_0)
[/mm]
für alle x [mm] \in U_\epsilon (x_0) [/mm] |
Beweis Im skript und teils ergänzungen:
[mm] f''(x_0) [/mm] = [mm] lim_{x->x_0} \frac{f'(x) - f'(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
sgn ( [mm] \frac{f'(x) - f'(x_0)}{x-x_0})= sgn(f''(x_0))
[/mm]
<=> [mm] sgn(f'(x)-f'(x_0)) [/mm] = sig ( x - [mm] x_0)
[/mm]
Mittelwertsatz :
[mm] x\in U_\epsilon (x_0): \exists \mu [/mm] (zwischen x und [mm] x_0)
[/mm]
Es gilt f(x) - [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] f'(\mu) *(x-x_0)
[/mm]
[mm] \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =f'(\mu) [/mm] = [mm] f'(x_0) [/mm] * [mm] (x-x_0) [/mm] + [mm] f'(\mu)-f'(x_0)*(x-x_0)>= f'(x_0) *(x-x_0)
[/mm]
> NUn
Ich verstehe nicht warum gilt: [mm] f'(x_0) [/mm] * (x- [mm] x_0) [/mm] + [mm] f'(\mu) -f'(x_0)*(x-x_0)>= f'(x_0) *(x-x_0) [/mm] und warum das unseren Satz beweist.
LG,
quasimo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Do 06.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei f:(a,b) -> [mm]\IR[/mm] differenzierbar in (a,b) , und an [mm]x_0 \in[/mm]
> (a,b) zweimal differenzierbar und f'' [mm](x_0)[/mm] >0
> Dann folgt [mm]\exists \epsilon[/mm] >0 : f(x) >= [mm]f(x_0)[/mm] + [mm]f'(x_0)[/mm]
> * [mm](x-x_0)[/mm]
> für alle x [mm]\in U_\epsilon (x_0)[/mm]
> Beweis Im skript und
> teils ergänzungen:
> [mm]f''(x_0)[/mm] = [mm]lim_{x->x_0} \frac{f'(x) - f'(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> sgn
> ( [mm]\frac{f'(x) - f'(x_0)}{x-x_0})= sgn(f''(x_0))[/mm]
> <=>
> [mm]sgn(f'(x)-f'(x_0))[/mm] = sig ( x - [mm]x_0)[/mm]
>
> Mittelwertsatz :
> [mm]x\in U_\epsilon (x_0): \exists \mu[/mm] (zwischen x und [mm]x_0)[/mm]
> Es gilt f(x) - [mm]f(x_0)[/mm] = [mm]f'(\mu) *(x-x_0)[/mm]
>
>
> [mm]\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =f'(\mu)[/mm] = [mm]f'(x_0)[/mm] * [mm](x-x_0)[/mm] +
> [mm]f'(\mu)-f'(x_0)*(x-x_0)>= f'(x_0) *(x-x_0)[/mm]
ich denke hier muss stehen
f(x) - [mm] f(x_0)=f'(\mu)*(x-x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)[/mm] [/mm] +
> [mm][mm] f'(\mu)*(x-x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)
[/mm]
dann schließt du aus dem darüberstehenden sgn Gl:
[mm] (x-x_0)*(f'(\mu)-f'(x_0))>0
[/mm]
und bist am Ziel
> > NUn
> Ich verstehe nicht warum gilt: [mm]f'(x_0)[/mm] * (x- [mm]x_0)[/mm] +
> [mm]f'(\mu) -f'(x_0)*(x-x_0)>= f'(x_0) *(x-x_0)[/mm] und warum das
> unseren Satz beweist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Fr 07.09.2012 | | Autor: | quasimo |
danke *
LG,
quasimo
|
|
|
|
