Beweis Maß/ messbare Fkten < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 So 05.08.2007 | | Autor: | keks |
| Aufgabe | Gegeben seien ein Maßraum [mm] (M,U,\mu) [/mm] und reelwertige messbare Funktionen [mm] f_{k}, f \in L^{1}(M, \mu) [/mm] mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{U}^{}{|f_{k}(x) - f(x)| d\mu} = 0 [/mm].
Man zeige:
Für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] gilt [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \mu(U_{\varepsilon, k}) = 0 [/mm] für [mm] U_{\varepsilon,k} := { x \in U : |f_{k}(x) - f(x)| > \varepsilon } [/mm]. |
Könnt ihr mir hierzu einen Tipp geben wie ich den Beweis anfangen kann bzw was ich ausnutzen muss.
Soll ich einen Gegenbeweis machen und sagen, wenn [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \mu(U_{\varepsilon, k}) \not= [/mm] 0 und dann irgendwie darauf kommen, dass dann das Integral nicht = 0 sein kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 So 05.08.2007 | | Autor: | SEcki |
> Soll ich einen Gegenbeweis machen und sagen, wenn
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \mu(U_{\varepsilon, k}) \not=[/mm] 0
> und dann irgendwie darauf kommen, dass dann das Integral
> nicht = 0 sein kann?
Ja, du kannst ja [m]|f-f_k|[/m] nach unten durch die char. Funktion von dem U abschätzen - jetzt Ideen?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Di 07.08.2007 | | Autor: | keks |
Hmm leider nein, zu der charakteristischen Fkt fällt mir dazu garnichts ein.
kannst du mir einen Ansatz zeigen?
Vielen Dank!
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> Hmm leider nein, zu der charakteristischen Fkt fällt mir
> dazu garnichts ein.
> kannst du mir einen Ansatz zeigen?
Aufgrund der Definition von [mm] $U_{\varepsilon,k}$ [/mm] gilt eben: [mm] $\varepsilon\cdot 1_{U_{\varepsilon,k}}\leq |f_k(x)-f(x)|$, [/mm] für alle $x$. (Wobei [mm] $1_{U_{\varepsilon,k}}$ [/mm] die charakteristische Funktion von [mm] $U_{\varepsilon,k}$ [/mm] ist.)
Daraus erhält man:
[mm]0\leq \varepsilon \cdot \mu(U_{\varepsilon,k})=\varepsilon \cdot \int 1_{U_{\varepsilon,k}}\;d\mu = \int \varepsilon \cdot 1_{U_{\varepsilon,k}}\;d\mu\leq \int |f_k(x)-f(x)|\; d\mu \underset{n\uparrow \infty}{\rightarrow} 0[/mm]
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