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| Aufgabe | Beweisen Sie den Multinomialen Lehrsatz für alle [mm] $a_1, [/mm] ..., [mm] a_r \in [/mm] R$ und [mm] $n\ge [/mm] 0$
[mm] $(a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + ... + [mm] a_r )^n [/mm] = [mm] \sum\limits_{k_1 = 0}^n \sum\limits_{k_2 = 0}^n \cdots \sum\limits_{k_r = 0}^n \binom{n}{k_1 ,k_2 ,...,k_r } a_1 ^{k_1 }a_2 ^{k_2 }\cdots a_r ^{k_r } [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
obigen Satz gilt es nun zu beweisen.
Ich dachte an vollständige Induktion. Zuerst wollte ich es für r, danach für n probieren. Es sieht aber so aus, als wäre es über n einfacher.
Mit dem Induktionsanfang für n = 0 ergibt sich bei mir
1 = 1. Dies ist offenbar wahr.
Nun geht es von n -> n+1.
Hier hänge ich nun fest.
Ich sehe, dass
[mm] $(a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + ... + [mm] a_r [/mm] )^(n+1) = [mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + ... + [mm] a_r )^n [/mm] * [mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + ... + [mm] a_r [/mm] )$
Hier wende ich nun die Induktionsvoraussetzung für [mm] $(a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + ... + [mm] a_r )^n$ [/mm] an, komme jedoch nicht auf die Formel, die ich beweisen muss, nämlich auf
[mm] $\sum\limits_{k_1 = 0}^{n+1} \sum\limits_{k_2 = 0}^{n+1} \cdots \sum\limits_{k_r = 0}^{n+1} \binom{n+1}{k_1 ,k_2 ,...,k_r } a_1 ^{k_1 }a_2 ^{k_2 }\cdots a_r ^{k_r }
[/mm]
Habt ihr da einen wunderbaren Tipp?
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> Beweisen Sie den Multinomialen Lehrsatz für alle [mm]a_1, ..., a_r \in R[/mm]
> und [mm]n\ge 0[/mm]
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> [mm]$(a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] + ... + [mm]a_r )^n[/mm] = [mm]\sum\limits_{k_1 = 0}^n \sum\limits_{k_2 = 0}^n \cdots \sum\limits_{k_r = 0}^n \binom{n}{k_1 ,k_2 ,...,k_r } a_1 ^{k_1 }a_2 ^{k_2 }\cdots a_r ^{k_r }[/mm]
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> Hallo ihr Lieben,
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> obigen Satz gilt es nun zu beweisen.
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> Ich dachte an vollständige Induktion. Zuerst wollte ich es
> für r, danach für n probieren. Es sieht aber so aus, als
> wäre es über n einfacher.
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> Mit dem Induktionsanfang für n = 0 ergibt sich bei mir
> 1 = 1. Dies ist offenbar wahr.
>
> Nun geht es von n -> n+1.
>
> Hier hänge ich nun fest.
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> Ich sehe, dass
> [mm](a_1 + a_2 + ... + a_r )^(n+1) = (a_1 + a_2 + ... + a_r )^n * (a_1 + a_2 + ... + a_r )[/mm]
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> Hier wende ich nun die Induktionsvoraussetzung für [mm](a_1 + a_2 + ... + a_r )^n[/mm]
> an, komme jedoch nicht auf die Formel, die ich beweisen
> muss, nämlich auf
> [mm]$\sum\limits_{k_1 = 0}^{n+1} \sum\limits_{k_2 = 0}^{n+1} \cdots \sum\limits_{k_r = 0}^{n+1} \binom{n+1}{k_1 ,k_2 ,...,k_r } a_1 ^{k_1 }a_2 ^{k_2 }\cdots a_r ^{k_r }[/mm]
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> Habt ihr da einen wunderbaren Tipp?
Hallo,
So ganz erfahren bin ich auch nicht darin, aber ich persönlich würde über $r$ induzieren und dann den binomischen Satz anweden. Aber der Ansatz kann auch völlig falsch sein, darum maße ich mir nicht an, das eine Antwort zu nennen.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
die Aussage kannst du nicht beweisen, da sie falsch ist!
Deine Summenindizes stimmen nicht, schau die Aufgabe mal bitte nochmal genau an.
Und dann geht der Beweis wirklich nur durch r-faches Anwenden des binomischen Lehrsatzes.
MFG,
Gono.
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Hallo,
lieben Dank; die Aufgabe steht genau so auf dem Übungsblatt.
Wie wende ich denn dann den Binomiallehrsatz 'r-fach' an, damit das als Beweis ausreicht? Ich hätte dann eben genutzt, was man hier finden kann:
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
das scheint ja aber mit meiner Formel nicht übereinzustimmen =/
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Hier der Original-Link:
http://fuchsc.sbg.ac.at/ws1213/dm_serie11.pdf
Aufgabe 5.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Di 08.01.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
die Summation ist aber falsch, siehe ![[]](/images/popup.gif) den Wikipediaartikel dazu.
Es muss:
[mm] $\summe_{k_1+\ldots+k_r = n}$ [/mm] heißen, das ist aber was ganz anderes als [mm] $\summe_{k_1=0}^n\ldots\summe_{k_r=0}^n$
[/mm]
edit: Es sei denn, ihr habt den Multinomialkoeffizient auf Null gesetzt, falls [mm] $k_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] k_r \not= [/mm] n$, das müsste dann aber explizit irgendwo stehen und wäre meiner Meinung nach auch etwas strange....
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 09.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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