Beweis Kreuzprodukt=Flächenin. < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Do 29.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Hallo zusammen,
eine kleine Frage zum Beweis, dass das Vektorprodukt gleich der Inhalt der aufgespannten Fläche ist.
Ich habe:
(a x b)² = ...
dann hat man irgendwann nach langem rechnen -->
= |a|² * |b|² - (a * b)²
= |a|² * |b|² - |a|² * |b|² * cos² [mm] \alpha
[/mm]
Bis dahin sind mir die Schritte einleuchtend, aber wieso ist das
= |a|² * |b|² * (1-cos² [mm] \alpha)
[/mm]
Wieso kann man |a|² * |b|² * cos² [mm] \alpha [/mm] einfach durch (1-cos² [mm] \alpha) [/mm] ersetzen ?
Gruß, Sebastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Do 29.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt:
[mm] |a|²*|b|²-|a|²*|b|²*\cos²(\alpha)
[/mm]
[mm] =\green{|a|²*|b|²}*(1)\green{-|a|²*|b|²}*\cos²(\alpha)
[/mm]
[mm] =\green{|a|²*|b|²}*(1-\cos²(\alpha))
[/mm]
Du klammerst "nur" [mm] \green{|a|²*|b|²} [/mm] aus.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Do 29.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Danke! Dachte, da steckt mehr dahinter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Sa 31.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Hallo,
bin noch über ein kleines Problem gestolpert:
Nach diesem
$ [mm] =\green{|a|²\cdot{}|b|²}\cdot{}(1-\cos²(\alpha)) [/mm] $
geht es weiter mit:
|a|² * |b|² * (sin² [mm] \alpha)
[/mm]
Wieso ist (1-cos² [mm] \alpha) [/mm] = (sin² [mm] \alpha) [/mm] ?
Wieso nimmt man zum Beweis (a x b)² und nicht (a x b)³ odernur einfach (a x b) ?
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> Hallo,
Hey
> bin noch über ein kleines Problem gestolpert:
>
> Nach diesem
>
> [mm]=\green{|a|²\cdot{}|b|²}\cdot{}(1-\cos²(\alpha))[/mm]
>
> geht es weiter mit:
>
> |a|² * |b|² * (sin² [mm]\alpha)[/mm]
>
> Wieso ist (1-cos² [mm]\alpha)[/mm] = (sin² [mm]\alpha)[/mm] ?
>
Es gilt der trigonometrische Pythagoras: [mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1
[/mm]
> Wieso nimmt man zum Beweis (a x b)² und nicht (a x b)³
> odernur einfach (a x b) ?
>
Weil es um eine Fläche geht.
$(a [mm] \times [/mm] b)$ und $(a [mm] \times b)^3$ [/mm] liefert außerdem einen Vektor und keine Zahl.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Sa 31.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Super, danke!
Ich habe den Beweis mal von Anfang an durchgeführt und bin mir nicht ganz sicher, wie folgendes umgeformt wurde:
(a x [mm] b)^2 [/mm] = [mm] (a_2 \cdot\ b_3 [/mm] - [mm] a_3 \cdot\ b_2)^2 [/mm] + [mm] (a_3 \cdot\ b_1 [/mm] - [mm] a_1 \cdot\ b_3)^2 [/mm] + [mm] (a_1 \cdot\ b_2 [/mm] - [mm] a_2 \cdot\ b_1)^2
[/mm]
Nun 1. Schritt binomische Formel, ist mir klar, wie dies funktioniert:
= [mm] (a_2)^2 \cdot\ (b_3)^2 [/mm] + [mm] (a_3)^2 \cdot\ (b_2)^2 [/mm] + [mm] (a_1)^2 \cdot\ (b_3)^2 [/mm] + [mm] (a_3)^2 \cdot\ (b_1)^2 [/mm] + [mm] (a_1)^2 \cdot\ (b_2)^2 [/mm] + [mm] (a_2)^2 \cdot\ (b_1)^2 [/mm] - 2 [mm] \cdot\ (a_2 \cdot\ a_3 \cdot\ b_2 \cdot\ b_3 [/mm] + [mm] a_1 \cdot\ a_3 \cdot\ b_1 \cdot\ b_3 [/mm] + [mm] a_1 \cdot\ a_2 \cdot\ b_1 \cdot\ b_2
[/mm]
Jetzt wurde es im 2. Schritt wie folgt umgeformt, was ich nun nicht mehr nachvollziehen kann:
= [mm] ((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2) \cdot\ ((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2) [/mm] - [mm] (a_1 \cdot\ b_1 [/mm] + [mm] a_2 \cdot\ b_2 [/mm] + [mm] a_3 \cdot\ b_3)^2
[/mm]
Wie kommt man denn vom 1. auf den 2. Schritt ?
MfG, Sebastian
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Hallo,
> Ich habe den Beweis mal von Anfang an durchgeführt und bin
> mir nicht ganz sicher, wie folgendes umgeformt wurde:
>
>
>
> (a x [mm]b)^2[/mm] = [mm](a_2 \cdot\ b_3[/mm] - [mm]a_3 \cdot\ b_2)^2[/mm] + [mm](a_3 \cdot\ b_1[/mm]
> - [mm]a_1 \cdot\ b_3)^2[/mm] + [mm](a_1 \cdot\ b_2[/mm] - [mm]a_2 \cdot\ b_1)^2[/mm]
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> Nun 1. Schritt binomische Formel, ist mir klar, wie dies
> funktioniert:
>
> = [mm](a_2)^2 \cdot\ (b_3)^2[/mm] + [mm](a_3)^2 \cdot\ (b_2)^2[/mm] + [mm](a_1)^2 \cdot\ (b_3)^2[/mm]
> + [mm](a_3)^2 \cdot\ (b_1)^2[/mm] + [mm](a_1)^2 \cdot\ (b_2)^2[/mm] + [mm](a_2)^2 \cdot\ (b_1)^2[/mm]
> - 2 [mm]\cdot\ (a_2 \cdot\ a_3 \cdot\ b_2 \cdot\ b_3[/mm] + [mm]a_1 \cdot\ a_3 \cdot\ b_1 \cdot\ b_3[/mm]
> + [mm]a_1 \cdot\ a_2 \cdot\ b_1 \cdot\ b_2[/mm]
>
> Jetzt wurde es im 2. Schritt wie folgt umgeformt, was ich
> nun nicht mehr nachvollziehen kann:
>
> = [mm]((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2) \cdot\ ((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)[/mm]
> - [mm](a_1 \cdot\ b_1[/mm] + [mm]a_2 \cdot\ b_2[/mm] + [mm]a_3 \cdot\ b_3)^2[/mm]
>
> Wie kommt man denn vom 1. auf den 2. Schritt ?
> MfG, Sebastian
Du kannst ja durch Ausmultiplizieren (unter Verwendung der ![[]](/images/popup.gif) trinomischen Formel) zeigen, das die beiden letzten Ausdrücke äquivalent sind.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Muglina |
also mein problem liegt bei der umformung von
= |a|² * |b|² - (a * b)²=
= |a|² * |b|² - |a|² * |b|² * cos² $ [mm] \alpha [/mm] $
warum kann der teil nach dem Minus so verändert werden
vielen Dank schon mal!!
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> also mein problem liegt bei der umformung von
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> = |a|² * |b|² - (a * b)²=
>
> = |a|² * |b|² - |a|² * |b|² * cos² [mm]\alpha[/mm]
>
> warum kann der teil nach dem Minus so verändert werden
>
> vielen Dank schon mal!!
es gilt doch
[mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*\cos\sphericalangle(\vec{a}\vec{b}) [/mm] = [mm] a*b*\cos \varphi
[/mm]
gruß tee
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