Beweis Invertierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:45 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Lessequal |
| Aufgabe | Sei A=(aij) [mm] \in \IK^{nxn}.Es [/mm] gelte
|aij| > [mm] \summe_{i\not=j} [/mm] |aij|
fuer alle i [mm] \in [/mm] {1,...,n}.Zeigen sie , dass A invertierbar ist.
Hinweis :verwenden sie den Stoerungssatz an. |
Hallo, hat jmd eine idee wie man an den beweis rangehen kann?bzw wie man das zeigen kann...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> Sei A=(aij) [mm]\in \IK^{nxn}.Es[/mm] gelte
>
> |aij| > [mm]\summe_{i\not=j}[/mm] |aij|
Ich glaube nicht, dass Du diese Ungleichung exakt richtig geschrieben hast. Inbesondere habe ich den Verdacht, dass auf der linken Seite der Betrag eines Diagonalelementes, z.B. [mm] $|a_{ii}|$, [/mm] stehen müsste.
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danke für den hinweis.du hast vollkommen recht!die gleichung ist falsch aufgeschrieben!
die richtige gleichung lautet :
[mm] |a_{ii}| [/mm] > [mm] \summe_{i\not=j} [/mm] |aij|
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> danke für den hinweis.du hast vollkommen recht!die
> gleichung ist falsch aufgeschrieben!
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> die richtige gleichung lautet :
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> [mm]|a_{ii}|[/mm] > [mm]\summe_{i\not=j}[/mm] |aij|
Ok, dann versuche also den "Störungssatz" anzuwenden (wie im Aufgabentext ja vorgeschlagen wurde): Die Diagonalmatrix $A$, die nur die Elemente [mm] $a_{ii}$ [/mm] enthält, ist jedenfalls invertierbar. Nun musst Du zeigen, dass die durch die [mm] $a_{ij}$ [/mm] (mit [mm] $i\neq [/mm] j$) eingeführte "Störung" [mm] $\Delta [/mm] A$ dieser invertierbaren Matrix $A$ genügend klein ist um schliessen zu können, dass die gestörte Matrix [mm] $A+\Delta [/mm] A$ ebenfalls invertierbar ist.
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