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Beweis Injektiv/Surjektiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Sa 17.11.2012
Autor: harlequix

Aufgabe
g:a -> b und g:b-> c seien beliebige Abbildungen. Folgende Aussagen sind zu beweisen:

ist f [mm] \circ [/mm] g bijektiv, so ist g injektiv und f surjektiv
ist g surjektiv und f bijektiv, so ist f [mm] \circ [/mm] g injektiv



Ich steh bei dieser Aufgabe völlig auf dem Schlauch. Ich kann zwar zwar den Beweis für injektivität führen( das waren noch zwei weitere Sätze), aber ich habe keine Idee wie ich die Surjektivität beweisen soll. Ich weiß , was die surjektiv meint, weiß aber nicht, wie ich diese Eigenschaft mathematisch ausdrücken soll

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Beweis Injektiv/Surjektiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Sa 17.11.2012
Autor: tobit09

Hallo harlequix und herzlich [willkommenmr]!


> g:a -> b und g:b-> c seien beliebige Abbildungen. Folgende
> Aussagen sind zu beweisen:

Soll es [mm] $f\colon b\to [/mm] c$ heißen? Davon gehe ich jetzt mal aus.

> ist f [mm]\circ[/mm] g bijektiv, so ist g injektiv und f surjektiv
>  ist g surjektiv und f bijektiv, so ist f [mm]\circ[/mm] g injektiv

Letzteres stimmt nicht. Steht da am Ende surjektiv statt injektiv?


> Ich steh bei dieser Aufgabe völlig auf dem Schlauch. Ich
> kann zwar zwar den Beweis für injektivität führen( das
> waren noch zwei weitere Sätze), aber ich habe keine Idee
> wie ich die Surjektivität beweisen soll. Ich weiß , was
> die surjektiv meint, weiß aber nicht, wie ich diese
> Eigenschaft mathematisch ausdrücken soll

Nehmen wir mal die Surjektivitätsaussage von folgendem Teil:
> ist f [mm]\circ[/mm] g bijektiv, so ist g injektiv und f surjektiv

[mm] $f\circ [/mm] g$ surjektiv bedeutet:

     Für alle [mm] $C\in [/mm] c$ existiert ein [mm] $A\in [/mm] a$ mit [mm] $f\circ [/mm] g(A)=C$.

Das ist Teil der Voraussetzung.

$f$ surjektiv bedeutet:

      Für alle [mm] $C\in [/mm] c$ existiert ein [mm] $B\in [/mm] b$ mit $f(B)=C$.

Das ist zu zeigen.

Betrachte also ein beliebig vorgegebenes [mm] $C\in [/mm] c$.
Zu zeigen ist die Existenz eines [mm] $B\in [/mm] b$ mit $f(B)=C$.

Da [mm] $f\circ [/mm] g$ surjektiv ist, existiert zu unserem [mm] $C\in [/mm] c$ ein [mm] $A\in [/mm] a$ mit ...

Jetzt betrachte $B:=g(A)$.


Viele Grüße
Tobias


P.S.: Vielleicht hilft dir meine MBBeweis-Anleitung weiter. Dort befindet sich auch ein Beispiel zur Surjektivität.
Bezug
                
Bezug
Beweis Injektiv/Surjektiv: Korrektur und DANKE
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 So 18.11.2012
Autor: harlequix

ups ja es sollte ein f:b sein
und es soll bewiesen oder wiederlegt werden, sorry für die Ungenauigkeiten.

Dein Beweis in der Sammlung hat mir sehr weiter geholfen, vor allem weil der mal ein bisschen ausführlicher wahr als das was die Profs anschreiben.
Danke
Bezug
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